NIM游戏/SG函数
NIM游戏
先看一下一维 NIM游戏。
有一堆大小为
的石子,甲和乙轮流从石堆里面拿石子,不能一次拿掉所有石子,取走最后一个石子的人获胜,甲先开始,谁是必胜的?
显然,谁先手,谁就获胜。那么推广到二维呢?
有两堆大小为
的石子,甲和乙轮流从两个石堆里拿石子,每次从一个石堆里拿石子,不能一次拿掉一堆中所有石子,取走最后一个石子的获胜,甲先开始拿,谁是必胜的?
当
而如果
引入点新概念。当两堆相等时,先手必败,我们将这种状态叫做必败态。记为
当两堆不相等时,先手必胜,将这种状态叫做必胜态,记为
那么,推广到多维,如何确定谁是必胜的呢?
由前两种NIM游戏可以知道,如果所有石堆大小都相等,那么先手是不能直接取得胜利的。这种状态称为平衡态。反之,可以进行一次操作就取得胜利的状态就是非平衡态。平衡态也就是必败态,非平衡态也就是必胜态。
考虑将所有石堆的大小异或起来,如果结果为
我们每拿一次石子,都可以将异或时某一位上的值由这位上的
如果一开始我们接手的是一个不平衡态,要取胜,就可以反复给对手构造一个平衡态,这是必胜的。
如果一开始接手的是一个平衡态,只要对手足够聪明,就可以让我们每次都拿到一个平衡态。这就是必败的。
SG函数
由刚才的论述可知,必胜态和必败态之间是可以相互转化的。必败态经过一次操作必然会转化为必胜态,必胜态经过一次操作可能是必胜态,也可能是必败态(想想异或的过程)。当一个状态已经转化为能够分出胜负的必败态时,称这个状态是0级必胜点,记作
如果某个状态最少操作一次就能变为0级必胜点,那么这个状态就是1级必胜点,以此类推,有2级,3级……必胜点。而SG函数就是用来描述每个状态到达终末态时所需要的最少的步骤,即描述每个状态是几级必胜点。定义为:
SG定理
-
两个同级必胜点(SG函数值相等)组成的游戏是必败的。因为先手如果降低其中一个必胜点的等级,后手可以降低另一个必胜点的相同数量的等级,使先手一直面对两个同级必胜点,最后面对两个1级必胜点,只能将其中一个必胜点变成必败点,这样先手必败。
-
两个不同级必胜点(SG函数值不同)组合成的的游戏是必胜的,因为先手可以将等级高的必胜点的等级降低到与另一个必胜点相同,这样后手面对的就是由两个同级必胜点构成局面,先手必胜。
对于一个游戏,可以将组成它的每一个游戏的SG函数值异或起来,为
例题:
Fibonacci again and again
三堆大小分别为
, , 的石子,每堆大小均不超过 ,两个人拿,令 为菲波那契数列中的一项,每个人每次只能从一堆里拿 个石子,问谁是必胜的。
板题,主要想说说怎么记忆化搜索求SG函数值。
int sg[MAXN + 5],f[MAXN + 5];//f为菲波那契数列
int getsg(int num){
if(num == 0)return sg[num] = 0;
if(sg[num] != -1)return sg[num];
bool vis[MAXN + 5];//表示从石子数为num可以转换到哪些状态
for(int i = 1; i <= MAXN: i++){
vis[num - f[i]] = 1;
getsg(num - f[i]);
}
for(int i = 0; ; i++){
if(!vis[i])return sg[num] = i;//找mex,求出是几级必胜点
}
return sg[num];
}
求出三个数的SG值后,看
A multiplication game
给定一个
,令 ,甲和乙可以每次将 乘上一个属于 的数,谁使 大于 谁就赢。求谁是必胜的。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<map>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 1e5;
int n;
map<int,int> sg,vis;
int getsg(int x){
if(x >= n)return sg[x] = 0;
if(vis.find(x) != vis.end())return sg[x];
vis[x] = 1;
int s[10];//9的十次方已经大于n的最大值了,故sg函数的值最大为9
memset(s,0,sizeof s);
for(int i = 2; i <= 9; i++){
s[getsg(x * i)] = 1;
}
for(int i = 0; i < 10; i++){
if(!s[i])return sg[x] = i;
}
return sg[x];
}
signed main(){
while(~scanf("%lld",&n)){
sg.clear();
vis.clear();
getsg(1);
if(sg[1])cout << "Stan wins.\n";
else cout << "Ollie wins.\n";
}
}
Cutting Game
两个人在一张大小为
纸上面切,每个人每次可以横着切一刀,也可以竖着切一刀,谁切出了 大小的纸,谁就获胜,问谁必胜。
注意到状态是二维的,即当前纸的长与宽。注意下SG函数的记录方法。
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 1e3;
int sg[MAXN + 5][MAXN + 6],n,m;
int getsg(int x,int y){
if(x < y)swap(x,y);
if(sg[x][y] != -1)return sg[x][y];
if(x == 1 && y == 1)return sg[x][y] = 1;
bool vis[4001];
memset(vis,0,sizeof vis);
for(int i = 2; i <= x - 2; i++){//横着切
vis[getsg(i,y) ^ getsg(x - i,y)] = 1;//每切一刀,就将当前纸分成了两张,也就是分成了两个子游戏,因此取异或的值
}
for(int i = 2; i <= y - 2; i++){//竖着切
vis[getsg(x,i) ^ getsg(x,y - i)] = 1;
}
for(int i = 0; i <= 4000; i++){
if(!vis[i])return sg[x][y] = i;
}
return sg[x][y];
}
int main(){
memset(sg,-1,sizeof sg);
for(int i = 2; i <= MAXN; i++){
sg[1][i] = 0;
}
while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
int ans = getsg(n,m);
if(ans)cout << "WIN\n";
else cout << "LOSE\n";;
}
}
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