洛谷 P2690 [USACO04NOV]Apple Catching G

题目大意：

奶牛喜欢吃苹果。约翰有两棵苹果树，有 N 只苹果会从树上陆续落下。如果掉苹果的时候，贝西在那棵树下，她就能接住苹果。贝西一开始在第一棵树下。在苹果掉落之前，她有足够的时间来回走动，但她很懒，最多只愿意移动 K 次。请计算一下她最多可以接住几只苹果。

分析：

首先很明显这是一道动态规划的问题（一开始脑子抽了做了个背包发现状态转移极为麻烦）。

分析题目，发现决定每一种状态的关键变量仅为 当前的时间 和 跳动的次数。因此，我们建立一个二维的 \(dp[i][j]\)，表示当时间为 \(i\)，总共跳动了 \(j\) 次的时候能够摘到的最多的果实。

在每一刻时间，我们可以选择转移到另一棵树下，也可以选择不进行转移，这就提示我们每个 \(dp[i][j]\) 可以从 \(dp[i - 1][j]\) 或 \(dp[i - 1][j - 1]\) 转移过来。同时，如果在当前时刻，所在的树上掉落了一个果实，那么我们就可以得到这个果实，答案加一。
综上，我们有如下的状态转移方程：

\[\begin{cases} dp[i][j] = \max(dp[i - 1][j,dp[i - 1][j - 1]) \\ dp[i][j] += 1 &\text{j % 2 + 1 == a[i]} \\ \end{cases} \]

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1005;
int n,k,dp[MAXN][MAXN],a[MAXN];
int main(){
   cin >> n >> k;
   for(int i = 1;i <= n; i++){
   	cin >> a[i];
   }
   for(int i = 1; i <= n; i++){
   	for(int j = 0; j <= k; j++){
   		if(j == 0)dp[i][j] = dp[i - 1][j];
   		else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - 1]);
   		if(j % 2 + 1 == a[i])dp[i][j]++;
   	}
   }
   int ans = 0;
   for(int i = 0; i <= k; i++){
   	ans = max(ans,dp[n][i]);
   }
   cout << ans;
}