线段树杂谈
概念:
线段树(Segment Tree)是一个基于分治的数据结构。
通常处理区间,序列中的查询,更改问题。大体上有单修,单查,区修,区查等操作。但因为其可维护变量的多样性,所以常在各类题目中遇到。准确说,是各类优化中遇到。
线段树是个有根二叉树,我们记为 t,其每个节点 t[p] 均保存着所应该记录的关键信息(依题目情况而定)。对于每一个区间,我一般不喜欢在结构体里记录它的区间端点信息,一般在函数递归中开两个参数进行处理。
实现1(单点修改,区间查询):
首先我们有这样一个序列a:
我们希望对其中下标为
Step 1,建树:
Step 2,单点修改:
Step 3,区间查询:
查询
单点修改,区间查询的方法就介绍到这里了。
实现2(区间修改,单点/区间查询):
如果说单点修改,区间查询的实现中最重要的就是数据的上传操作,那么我觉得区间修改,单点/区间查询最重要的就是数据的下传操作。
什么是下传操作?我们通过对下面这道题的分析来进行理解。
有一列长度为
的路灯,每一次操作下标 到 的路灯的开关,使得每个路灯的状态发生改变(亮变灭 灭变亮)。所有灯初始时都是灭的,经过 次操作后,有 次查询,每一次查询操作给出 两个下标,查询 到 中有多少盏路灯是亮着的。
在这道题目中,对于修改操作中的
在这个题里,因为所有灯初始为灭的,且
Step 1,区间修改:
Step 2,区间查询:
通过这两个题,我们能够更加深入地理解线段树,搞明白其中最重要的父节点数据下传,子节点数据上传等操作,这样有利于我们更清晰地进行线段树的处理。
最后,在面对线段树的题时,最重要的是分析到底该维护哪些信息,并如何进行转移。线段树其实从根本上说是一种思想,因此,我们无须拘泥于所谓的模板,根据题目灵活应对即可。
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