欧几里得算法

欧几里得算法：

  算法：\(\gcd(a,b) = \gcd(b,a \mod b)\)
  证明如下：
    令 \(r= a\mod b\)，设 \(d\) 为\(a,b\) 的一个公约数。
    可得：\(r = a - bk\)，\(a = dx\)，\(b = dy\)
    继而推出：\(r = dx - kdy = d(x - ky)\)
    因此，\(d\) 为 \(r\) 的一个因数，得证。

int gcd(int a,int b){
	if(b == 0){
		return a;
	}
	return gcd(b,a % b);
}

扩展欧几里得算法：

  功能：可以在知道 \(a,b\) 的情况下求解 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组 \(x,y\) 的解。
  证明如下：
    已知有方程 \(ax_0+by_0=\gcd(a,b)\)，由欧几里得算法可得，存在\(bx_1 + (a \mod b)y_1=\gcd(b,a \mod b)\)
    由欧几里得算法得\(ax_0+by_0=bx_1+(a - kb)y_1\)
    移项，得：\(ax_0+by_0=ay_1 + b(x_1-ky_1)\)
    易得：\(\begin{cases}x_0=y_1\\y_0=x_1-ky_1\\k=a/b \end{cases}\)

int x,y;
void ex_gcd(int a,int b){
	if(b == 0){
		x = 1;
		y = 0;
		return;
	}
	ex_gcd(b,a % b);
	int t = x;
	x = y;
	y = t - (a/b)*y;
}

应用：

• 判断不定方程 \(ax+by=c\) 是否有解：
  有解的条件：\(c \mod \gcd(a,b)= 0\)
• 得出不定方程的通解：
  \(\begin{cases}x=x_0+b/\gcd(a,b)\\y=y_0-a/\gcd(a,b)\end{cases}\)
• 模线性方程 \(a\times x\equiv b(\mod n)\) 的解
  由方程可得：\((a \times x - b)\mod n = 0\)
  于是设出方程 \(a \times x - n \times y = b\)
    由第二条即可解出