欧几里得算法

欧几里得算法：

  算法：$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{mod}b)$
  证明如下：
    令 $r=a\mathrm{mod}b$，设 $d$ 为$a,b$ 的一个公约数。
    可得：$r=a-bk$，$a=dx$，$b=dy$
    继而推出：$r=dx-kdy=d(x-ky)$
    因此，$d$ 为 $r$ 的一个因数，得证。

int gcd(int a,int b){
	if(b == 0){
		return a;
	}
	return gcd(b,a % b);
}

扩展欧几里得算法：

  功能：可以在知道 $a,b$ 的情况下求解 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一组 $x,y$ 的解。
  证明如下：
    已知有方程 $a{x}_0+b{y}_0=gcd(a,b)$，由欧几里得算法可得，存在$b{x}_1+(a\mathrm{mod}b)y_1=gcd(b,a\mathrm{mod}b)$
    由欧几里得算法得$a{x}_0+b{y}_0=b{x}_1+(a-kb)y_1$
    移项，得：$a{x}_0+b{y}_0=a{y}_1+b(x_1-k{y}_1)$
    易得：$\{\begin{array}{l}{x}_0=y_1\\ y_0=x_1-k{y}_1\\ k=a/b\end{array}$

int x,y;
void ex_gcd(int a,int b){
	if(b == 0){
		x = 1;
		y = 0;
		return;
	}
	ex_gcd(b,a % b);
	int t = x;
	x = y;
	y = t - (a/b)*y;
}

应用：

• 判断不定方程 $ax+by=c$ 是否有解：
  有解的条件：$c\mathrm{mod}gcd(a,b)=0$
• 得出不定方程的通解：
  $\{\begin{array}{l}x=x_0+b/gcd(a,b)\\ y=y_0-a/gcd(a,b)\end{array}$
• 模线性方程 $a\times x\equiv b(\mathrm{mod}n)$ 的解
  由方程可得：$(a\times x-b)\mathrm{mod}n=0$
  于是设出方程 $a\times x-n\times y=b$
    由第二条即可解出