Pairs Forming LCM

题目大意：

给定 \(t\) 个数 \(n\)，对于每一个 \(n\) 求最大公倍数等于 \(n\) 的数对有多少个

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一种全新的求解 \(\gcd\) 和 \(lcm\) 的方法:

对 \(a\) ,\(b\) 两个数进行质因数分解，得到：$$a = p_1^{x_1} * P_2^{x_2} * P_3^{x_3} *P_4^{x_4} *P_5^{x_5} *... P_{n-1}^{x_{n-1}} * p_n^{x_n}$$

\[b = p_1^{y_1} * P_2^{y_2} * P_3^{y_3} *P_4^{y_4} *P_5^{y_5} *... P_{n-1}^{y_{n-1}} * p_n^{y_n} \]

\[\gcd(a,b) = p_1^{\min(x_1,y_1)} * p_2^{\min(x_2,y_2)} *p_3^{\min(x_3,y_3)}*...*p_n^{\min(x_n,y_n)} \]

\[lcm(a,b) = p_1^{\max(x_1,y_1)} * p_2^{\max(x_2,y_2)} *p_3^{\max(x_3,y_3)}*...*p_n^{\max(x_n,y_n)} \]

思路如下：

先对 \(n\) 素因子分解，得到，

\[n = p_1^{e_1} * P_2^{e_2} * P_3^{e_3} *P_4^{e_4} *P_5^{e_5} *... P_{n-1}^{x_{n-1}} * p_n^{x_n} \]

当 \(lcm(a,b)==n\) 时，\(\max(x_1,y_1)==e_1,\max(x_2,y_2)==e_2,…\max(x_n,y_n)==e_n\)
当 \(a_i == e_i\) 时，\(b_i\) 可取 \([0, ei]\) 中的所有数 ,有 \(e_i+1\) 种情况，\(b_i==e_i\) 时同理。
那么就有 \(2(e_i+1)\) 种取法,但是当 \(a_i = b_i = e_i\) 时有重复，所以取法数为

\[2(ei+1)-1=2*ei+1 \]

除了 \((n, n)\) 所有的情况都出现了两次 那么满足 \(a<=b\) 的有 \((2*ei + 1)) / 2 + 1\) 个

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e7+5;
const int NN=1e6;
unsigned int prime[NN],cnt;           //prime[N]会MLE
bool vis[N];

void is_prime()
{
    cnt=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            for(int j=i+i;j<N;j+=i)
            {
                vis[j]=1;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    is_prime();
    int t;
    cin>>t;
    for(int kase=1;kase<=t;kase++)
    {
        LL n;
        cin>>n;
        int ans=1;
        for(int i=0;i<cnt&&prime[i]*prime[i]<=n;i++)
        {
            if(n%prime[i]==0)
            {
                int e=0;
                while(n%prime[i]==0)
                {
                    n/=prime[i];
                    e++;
                }
                ans*=(2*e+1);
            }
        }
        if(n>1)
            ans*=(2*1+1);
        printf("Case %d: %d\n",kase,(ans+1)/2);
    }
}