Pairs Forming LCM

题目大意：

给定 $t$ 个数 $n$，对于每一个 $n$ 求最大公倍数等于 $n$ 的数对有多少个

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一种全新的求解 $gcd$ 和 $lcm$ 的方法:

对 $a$ ,$b$ 两个数进行质因数分解，得到：$$a=p_1^{x_1}\ast P_2^{x_2}\ast P_3^{x_3}\ast P_4^{x_4}\ast P_5^{x_5}\ast ...P_{n-1}^{x_{n-1}}\ast p_n^{x_n}$$

$$b=p_1^{y_1}\ast P_2^{y_2}\ast P_3^{y_3}\ast P_4^{y_4}\ast P_5^{y_5}\ast ...P_{n-1}^{y_{n-1}}\ast p_n^{y_n}$$

$$gcd(a,b)=p_1^{min(x_1,y_1)}\ast p_2^{min(x_2,y_2)}\ast p_3^{min(x_3,y_3)}\ast ...\ast p_n^{min(x_n,y_n)}$$

$$lcm(a,b)=p_1^{max(x_1,y_1)}\ast p_2^{max(x_2,y_2)}\ast p_3^{max(x_3,y_3)}\ast ...\ast p_n^{max(x_n,y_n)}$$

思路如下：

先对 $n$ 素因子分解，得到，

$$n=p_1^{e_1}\ast P_2^{e_2}\ast P_3^{e_3}\ast P_4^{e_4}\ast P_5^{e_5}\ast ...P_{n-1}^{x_{n-1}}\ast p_n^{x_n}$$

当 $lcm(a,b)==n$ 时，$max(x_1,y_1)==e_1,max(x_2,y_2)==e_2,\dots max(x_n,y_n)==e_n$
当 $a_i==e_i$ 时，$b_i$ 可取 $[0,ei]$ 中的所有数 ,有 $e_i+1$ 种情况，$b_i==e_i$ 时同理。
那么就有 $2(e_i+1)$ 种取法,但是当 $a_i=b_i=e_i$ 时有重复，所以取法数为

$$2(ei+1)-1=2\ast ei+1$$

除了 $(n,n)$ 所有的情况都出现了两次 那么满足 $a<=b$ 的有 $(2\ast ei+1))/2+1$ 个

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e7+5;
const int NN=1e6;
unsigned int prime[NN],cnt;           //prime[N]会MLE
bool vis[N];

void is_prime()
{
    cnt=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            for(int j=i+i;j<N;j+=i)
            {
                vis[j]=1;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    is_prime();
    int t;
    cin>>t;
    for(int kase=1;kase<=t;kase++)
    {
        LL n;
        cin>>n;
        int ans=1;
        for(int i=0;i<cnt&&prime[i]*prime[i]<=n;i++)
        {
            if(n%prime[i]==0)
            {
                int e=0;
                while(n%prime[i]==0)
                {
                    n/=prime[i];
                    e++;
                }
                ans*=(2*e+1);
            }
        }
        if(n>1)
            ans*=(2*1+1);
        printf("Case %d: %d\n",kase,(ans+1)/2);
    }
}