2022 年 10月随笔档案 - Vegdie

摘要：我们先来看简单版：P1637 三元上升子序列这道题显然考虑dp，转移式子也很好写设f[i][j]表示以a[j]结尾长度为i的上升子序列个数。显然答案就是

\sum_{k = 1}^{n} f_{3, k}

$\sum\limits_{k=1}^{n} f_{3,k}$ $$f_{i,j}=\sum\limits_{k=i}^{j-1}[a_k<a 阅读全文

posted @ 2022-10-29 20:13 Vegdie 阅读(49) 评论(0) 推荐(0) 编辑

卢卡斯定理

摘要：今天终于明白了卢卡斯定理的证法！定理卢卡斯（Lucas）定理：若

p

$p$ 是质数 $$\binom {n} {m}\mod p = \binom {\lfloor n/p\rfloor}{\lfloor m/p\rfloor}\cdot \binom {n \mod p}{m \mod p} \ 阅读全文

posted @ 2022-10-25 20:17 Vegdie 阅读(84) 评论(1) 推荐(0) 编辑

中国剩余定理

摘要：中国剩余定理用来求解同余方程组。其中

m_{i}

$m_i$ 两两互质

{\begin{cases} x & \equiv a_{1} (\mod m_{1}) x & \equiv a_{2} (\mod m_{2}) & ⋮ x & \equiv a_{k} (\mod m_{k}) \end{cases}

$\begin{cases} x &\equiv a_1 \pmod {m_1}\ x &\equiv a_2 \pmod{m_2}\ &\vdots\ x & \equiv a_k\pmod {m_k}\ \end{cases}$ 定阅读全文

posted @ 2022-10-24 06:21 Vegdie 阅读(57) 评论(0) 推荐(0) 编辑

裴蜀定理、Exgcd与乘法逆元

摘要：裴蜀定理逆元并非对任何数存在…… 定理：

a x + b y = c

$ax+by=c$ 有解

x, y

${x,y}$ 当且仅当

c

$c$ 是

gcd (a, b)

$\gcd(a,b)$ 的倍数。证明必要性：反证假设

c

$c$ 不是

gcd (a, b)

$\gcd(a,b)$ 的倍数。设

d = gcd (a, b)

$d=\gcd(a,b)$ ，将等式两边除以

d

$d$ 可得： $a\frac{x}d+ 阅读全文

posted @ 2022-10-23 21:23 Vegdie 阅读(48) 评论(0) 推荐(0) 编辑

费马小定理的证明

摘要：费马小定理的证明方法有很多种，有集合法、二项式定理法…… 这里记录下集合证法，强化下记忆：命题：若

p

$p$ 为质数，则

a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)

$a^{p-1}\equiv 1\pmod p$ 设集合

T_{1} 1, 2, 3, \dots, p - 1

$T_1{1,2,3,\dots,p-1}$ 这

p - 1

$p-1$ 个数，他们的积为

(p - 1)! (\mod p)

$(p-1)!\pmod p$ 将这个集阅读全文

posted @ 2022-10-23 16:34 Vegdie 阅读(637) 评论(0) 推荐(0) 编辑

威尔逊定理

摘要：威尔逊定理：

(p - 1)! \equiv - 1 (\mod p)

$(p-1)!\equiv -1\pmod{p}$ 证明：我们只道在模奇素数

p

$p$ 意义下，

1, 2, \dots, p - 1

$1,2,\dots,p-1$ 都存在逆元且唯一，且逆元也一定在

1 \leq a^{'} \leq p - 1

$1\le a' \le p-1$ ，那么只需要将一个数与其逆元配对发现其乘积均为（同余意义下）

1

$1$ ，但前提是这个数的逆阅读全文

posted @ 2022-10-22 21:48 Vegdie 阅读(77) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF776B Sherlock and his girlfriend 筛法

摘要：一道略显思维的筛法题 Sherlock and his girlfriend 题面翻译题目描述 Sherlock 有一个新女朋友。现在情人节就要到了，他想送给她一些珠宝。他买了几件首饰。第

i

$i$ 件的价格等于

i + 1

$i+ 1$ ，也就是说，珠宝的价格分别为

2, 3, 4, n + 1

$2,3,4,n + 1$ 。现在需要给阅读全文

posted @ 2022-10-22 15:50 Vegdie 阅读(43) 评论(0) 推荐(0) 编辑

辗转相除的时间复杂度

摘要：

gcd (a, b) = gcd (b, a

$\gcd(a,b) = \gcd(b,a%b)$ 这是辗转相除法，也叫欧几里得算法欧几里得算法的时间复杂度我们认为是

O (l o g n)

$O(log n)$ 的。证法1 设

a > b

$a>b$ 分为两种情况： ①

a > 2 b

$a>2b$ 发现缩减速度大于等于2倍，问题规模缩小至少一半 ②

a < 2 b

$a<2b$ 即 $a>b>\frac{ 阅读全文

posted @ 2022-10-22 15:17 Vegdie 阅读(1164) 评论(0) 推荐(0) 编辑

单调栈（P1823 [COI2007] Patrik 音乐会的等待）

摘要：[COI2007] Patrik 音乐会的等待题目描述

n

$n$ 个人正在排队进入一个音乐会。人们等得很无聊，于是他们开始转来转去，想在队伍里寻找自己的熟人。队列中任意两个人

a

$a$ 和

b

$b$ ，如果他们是相邻或他们之间没有人比

a

$a$ 或

b

$b$ 高，那么他们是可以互相看得见的。写一个程序计算阅读全文

posted @ 2022-10-22 13:48 Vegdie 阅读(50) 评论(0) 推荐(0) 编辑

单调队列优化dp（1）（P2034 选择数字）

摘要：参考算法学习笔记(66): 单调队列 - 知乎 (zhihu.com) 题目描述给定一行n个非负整数a[1]..a[n]。现在你可以选择其中若干个数，但不能有超过k个连续的数字被选择。你的任务是使得选出的数字的和最大。输入格式第一行两个整数n，k 以下n行，每行一个整数表示a[i]。输出格式阅读全文

posted @ 2022-10-22 13:26 Vegdie 阅读(54) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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