第一阶段复习——动态规划2

目录

• 状态压缩动态规划
  • P1896 [SCOI2005] 互不侵犯
  • P1879 [USACO06NOV] Corn Fields G
  • P2704 [NOI2001] 炮兵阵地
  • 一些习题
  • 关灯问题
• 区间dp
  • 石子合并
  • 能量项链
  • 习题
  • [HAOI2008] 玩具取名
• 数位dp
  • 三道例题
  • 练习
• 习题

状态压缩动态规划

就是对状态做一个压缩，一般是用二进制表示，比如

P1896 [SCOI2005] 互不侵犯

每一行的状态一般来说要开好多维数组，然而一个二进制就搞定了。

预处理：首先 1<<n 范围枚举状态，筛选出合法状态，记录每一个合法状态的点数。

设 $f_{i,j,k}$ 表示前 i 行，放 j 个士兵，当前行的状态是 k 的方案数。初始化 $f_{0,0,0}=1$。

转移：

对于前i行，放j个士兵的情况，考虑转移。双重循环枚举状态，分别用a和b表示（a循环在外），用c记录a状态的士兵数。

进行判断：如果j不小于c；正对判断；错位判断（位运算的巧用）。如果都满足，则 $f_{i,j,a}=f_{i-1,j-c,b}$

具体见代码。

最后有一个技巧，多算一层，直接输出 $f_{n+1,k,0}$ 就可以，虽说并没有节省时间复杂度。

P1879 [USACO06NOV] Corn Fields G

和上一个问题的区别就在于约束条件，变成了十字形的，另外还加了一个贫瘠土地的限制。

判断条件：!(s[a] & s[b]) && (s[a] & g[i]) == s[a]

第一个的意义是水平判断，和上题一样；第二个是障碍判断，位运算巧用。

滚动数组的另一种操作方法，用与运算来维护，每次更新 $i\oplus 1$ 的位置就好。

P2704 [NOI2001] 炮兵阵地

十字形的约束扩大了一层。

$f_{i,a,b}$ 表示前i行，第i行是状态a，第i-1行是状态b的方案数。

判断：

但这里面有一些冗余，删除之后：（因为比较状态合法只需要a-b,a-c之间合法，b-c就合法；另外，b这一层在a的上一层，b肯定已经被算过合法状态了，所以转移一定不会出现不合地图的情况，所以不用判断b的地图合法性）

转移：

$f[i \& 1][a][b] = \max(f[i \& 1][a][b], f[(i - 1) \& 1][b][c] + num[s[a]])$

将第一维压缩为两个位，与运算交替，可以通过此题。

一些习题

P2622 关灯问题II；PRZ；P3694 邦邦的大合唱站队；P3092 [USACO13NOV] No Change G；P5005 中国象棋 - 摆上马

关灯问题

这题是求一个最小步数类型的题。设计状态 f[state] 表示state状态的最少步数，然后跑bfs就可以。但是重点在于处理操作。发现一个操作序列用一个二进制好像是无法表示的，那么就开两个。opt1用来搞1->0，opt2用来搞0->1。

下一个状态的获取：t = (u | opt1[i]) & (~opt2[i])

详细解释：

这个位运算操作可以做到将操作序列O(n)处理降到O(1)。但这个思路很nb。

首先考察这个操作的意义，对于一个操作序列：其中的1表示把当前状态u中对应位置的1变成0；-1表示把当前状态u中对应位置的0变成1；0表示无影响。

首先-1的意义可以想到或运算：将u和opt1[i]进行按位或，因为或运算只有在序列位置为1，u位置为0的时候起作用，因为序列中只有需要更改的地方是1，其余地方都是0，无影响！所以考虑需要更改的地方，正好。之后再考虑1操作，将1变成0，用~opt2[i]和u进行与运算，注意这个opt序列中也只有需要更改的信息，其他都是0，但是与运算的性质是1不变性，0必变性，所以要取反，这里1变为0,0仍然是0。

动态规划5】状态压缩动态规划

[能力提升综合题单Part4 动态规划2]

区间dp

石子合并

重点在于如何识别出来这道题是动态规划，即快速证伪贪心。因为只能取相邻两堆的限制，导致不能做到每次取到最小和。

破环成链复制一倍。

对于f[l][r]表示l~r的最小代价，g可以设为最大代价，这里我们只考虑f的转移，g同理。

对于区间dp的常见方法就是外层枚举跨度，内层枚举左端点，最内层枚举中间点。

那我们考虑f可以由中间点怎么转移得来。

$f[l][r] = \min(f[l][k] + f[k][r] + s[r] - s[l - 1])$

合并的代价是每次都有的，直接前缀和就好了。

最后枚举答案需要i从1~n枚举，然后跨度为n去选，因为复制了一倍。

能量项链

这题一样

有一个极简的写法：

for(int len = 3; len <= n + 1; len++)
        for(int i = 1, j; (j=i+len-1) <= 2 * n; i++)
            for(int k = i + 1 ;k < j; k++)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + a[i] * a[k] * a[j]);

习题

P4290 [HAOI2008] 玩具取名；两道棋盘分割。

洛谷题单：【动态规划3】区间与环形动态规划

括号序列！

[HAOI2008] 玩具取名

这道题上来就想区间dp，然而实现的时候用的map和set，复杂了，tle半天。其实这个合并判断的处理用一个三维小数组就足够了。

本质就是区间dp，状态转移数组是 f[l][r][k]， 还是布尔型的。

注意字符串从0开始，改成字符数组可以实现从1开始。

数位dp

三道例题

数字游戏1；数字游戏2；windy数。

练习

AHOI同类分布；手机号码

参考OIwiki的解说和习题。hm的ppt。

习题

usaco：P7415 P9129 P6006 P3607，这几道是guide上的，题解也在上面。