第一阶段复习——最短路
最短路部分
最小环
一些细节：枚举最小环是依据还没有更新经过k的最短路，所以要写在更新经过k的最短路之前。要判断是否存在路径。ijk三指针需要i与k、j与k相连。
传递闭包
f[i][j] |= f[i][k] & f[k][j];
注意是有向图
Dij证明
命题：在取出最短路长度最小的节点u的时候，u的最短路已经被确定，即D(u)=dis(u)
证明：设u是算法中第一个在加入S集合时不满足D(u)=dis(u)的点。（u的存在性略）。一定存在一条路径s→x−y→u，其中y是路径上第一个属于T集合的点。而x和y直接相连，显然x∈S。
因为D(x)=dis(x)，所以（x，y）会被松弛，于是加入u的时候，一定有，D(y)=dis(y)
因为边权为正，所以D(y)≤D(u)，从而dis(y)≤D(y)≤D(u)≤dis(u)。但因为u被取出，所以dis(u)≤dis(y)，故D(u)=dis(u)，与假设矛盾。命题得证。
反图
负环
例题：拉近距离
最短路计数
方法：因为不涉及权值，所以单纯bfs就好。自环不会影响结果，因为如果经过自环，一定比不经过自环要长，所以输入判自环。重边会影响结果，但是一样计入即可（可不可以用乘法什么的优化）。在遇到一个没访问过的点时，一定是最短路，更新即可，该点的计数+=前驱的计数；若遇到访问过的点，且该点最短路长度大于前驱最短路长度（其实这两个长度必定只差1），则依然更新，其他情况都不是最短路，不更新。这题做完了。
次短路
例题：[USACO06NOV]Roadblocks G
- 首先想到在最短路算法的过程中计算次短路。进而想到开两个数组，一个是dis1用来存最短路，一个是dis2用来存次短路。
- 更新最/次短路是最重要的一点。
- 对于u向v的更新：（定义折线长度为u点最短路加(u,v)边权）
- 判断1：如果dis1[v]可以更新，则更新dis1[v] 。（这里可以加一句，让dis2[v]等于先前的dis1[v] ）
- 判断2：如果dis1[v]不能更新（这不代表dis2[v]不能更新）。那么如果折线长度小于dis2[v]，而且折线长度大于dis1[v]（这个dis1[v]并没有被更新，注意这里的逻辑），则更新dis2[v]为折线长度。
- 判断3：注意到判断2中更新dis2[v]的是最短路的折线长度，这一定比次短路的折线长度更优，所以判断2若不成立，那么才考虑，用次短路的折线长度更新。换个角度理解，这个算法其实是两次松弛，判断2保证了严格小于最短路的次短路。
- 对于三个判断，有一个成立，就要入队。因为更新势必造成对之后的影响，就要入队。而且从if，else if的角度也很好理解。
- 这里可以发现，判断123是转折的，可以用else-if连接，比方说，判断2成立，判断3就一定不成立。
- 好在该题可以一条边重复走。
分层图的几个典例
最短路结合二分
例题：通往奥格瑞玛的道路
边权是扣的血量。点权是要花的路费。
那肯定是最短路和边权有关。
二分最小花费，每次跑一次最短路。
单调性：最短路长度与花费呈非严格单调递减。
曾经的分析：
- 这题属于“求最大值的最小值”题型，那么就要考虑二分答案——对过路费进行二分答案，二分的板子一定要备好。进而考虑check函数，check函数就是dijkstra，不过要满足最短路长度要小于b，就是血量不能扣光。
- “我们假设需要的钱”越多，能走的点也就越多，可以走到终点的可能性也就越大。这里过路费的最大值和扣血量是有单调关系的。假设ans是过路费最大值的最小值，那么一定有一条小于b的路径L到终点。假设一个允许的过路费最大值k>ans，那么走L仍然满足。
有一些小细节要注意：
- 每一次dij，要判断起点的费用，否则WA一个点。if (f[1] > x) return false; // 记录1
- 输出AFK的条件有不少:(1)l>maxf;(2)dis[n]>=b（单数会WA一个点）;(3)Dijkstra(100000100)。 总之，边界处理太困难了。
差分约束系统
c是正的。x是整数。
连边，加一个超级源点防止图不连通并赋dis=0x3f，或将每个点入队并赋dis=0
跑一遍最短路。
如果有负环出现，则无解；如果无负环，则dis[i]就是解。
例题：模板题、小K的农场。
小K的农场这道题可以把 xa=xb转化cheng xa-xb<=0
奇偶性
例题：P5663 [CSP-J2019] 加工零件
- 好像有一种分层图的做法。（Froggy）
- 一般做法：计算出dis_odd，和dis_even。对于每一组a, l：如果l是奇数，那么考虑有没有小于等于l的dis_odd[a]，有就是yes；如果l是偶数，那么考虑有没有小于等于l的dis_even[a]，有就是yes。否则就是no。
- 计算dis_odd, dis_even，由于边权是1，采用01bfs就可以。
- 注：01bfs中，dis_even,dis_odd初始设为0x3f3f3f除了dis_even[1]=0。好像还有一个孤立点的情况。
TODO: P7997 [WFOI - 01] 刷题 （problem）
正、反图 记忆化搜索
例题：P3953 [NOIP2017 提高组] 逛公园
两遍最短路，求出1到各点的最短路，和各点到n的最短路。这道题卡dijkstra，用spfa就可以了。（见鬼）
然后考虑dfs，处在u点，考虑邻接的v点，用x，w(u,v)，dis_anti[v]三段拼凑答案。x是上层传下来的路径长度，这里我已开始搞错了，写成了dis_ord[u]，然而并不是这样的，因为如果这样，枚举到的路径只有一段是不一样的，会漏掉很多。
那么就超时了。记忆化搜索，设f[u][t]表示在u点，“消耗了”t个k值，之后的方案数。很巧妙，cjh的方法。我觉得，“消耗”可以替换成“还剩多少k值”。
注：还要做一些剪枝，比如没有路走、路径超过D+k等等。
关于0环：0环是导致无穷解的原因。注意到，从0环上任意一点u出发回到u时，其x值不会变。所以用d[u]数组记录u点第一次被访问的x值，用flg[u]记录u点被访问次数。若flg[u] != 0 && d[u] == x，则存在0环。
参考：cjh的ppt
建模
例题：P1875 佳佳的魔法药水
DP
例题：物流运输
