狄利克雷卷积
狄利克雷卷积以及相关概念
狄利克雷生成函数：
\(F(x)=\dfrac{a_1}{1^x}+\dfrac{a_2}{2^x}+\dfrac{a_3}{3^x}+\cdots=\sum\limits^\infty_{n=1}\dfrac{a_n}{n^x}\)
乘法运算：
特点：普通和指数型生成函数的乘法是指数加，狄利克雷是指数积；狄利克雷的 \(i\) 从 \(1\) 开始。
\(\sum\limits^\infty_{i=1}\dfrac{a_i}{i^x}\sum\limits^\infty_{j=1}\dfrac{a_j}{j^x}\\ =(\dfrac{a_1}{1^x}+\dfrac{a_2}{2^x}+\dfrac{a_3}{3^x}+\dfrac{a_4}{4^x}+\cdots)(\dfrac{b_1}{1^x}+\dfrac{b_2}{2^x}+\dfrac{b_3}{3^x}+\dfrac{b_4}{4^x}+\cdots)\\ \dfrac{1_1b_1}{1^x}+\dfrac{a_1b_2+a_2b_1}{2^x}+\dfrac{a_1b_3+a_3b_1}{3^x}+\dfrac{a_1b_4+a_2b_2+a_4b_1}{4^x}+\cdots \\ =\sum\limits^\infty_{n=1}\dfrac{1}{n^x}\sum\limits_{d|n}a_db_{\frac{n}{d}}\)
这里对比一下前面两种生成函数的乘法：
\(F(x)G(x) = \sum_{i\ge 0}a_ix^i\sum_{j\ge 0}b_jx^j=\sum_{n\ge 0}x^n\sum^n_{i=0}a_ib_{n-i}\)
\(\begin{aligned} F(x) & G(x)=\sum_{i \geq 0} a_i \frac{x^i}{i !} \sum_{j \geq 0} b_j \frac{x^j}{j !} \\ & =\sum_{n \geq 0} x^n \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} \frac{1}{i !(n-i) !} \\ & =\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n !} \sum_{i=0}^n \frac{n !}{i !(n-i) !} a_i b_{n-i} \\ & =\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n !} \sum_{i=0}^n C_n^i a_i b_{n-i} \end{aligned}\)
积性函数：\(f(1)=1\)，当 \(\gcd(a,b) = 1\) 时，有 \(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称 \(f(n)\) 为积性函数。
欧拉函数和莫比乌斯函数都是积性函数。
欧拉函数：\(\varphi(n)=\sum^n_{i=1}[\gcd(i,n)=1]\)
性质（欧拉反演）：\(\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n\)，例如 \(\varphi(1)+\varphi(2)+\varphi(3)+\varphi(6) = 6\)
证明：令 \(i\) 是 \(1\sim n\) 的整数，\(d=\gcd(i,n)\)，则 \(\frac{i}{d}\perp \frac{n}{d}\)。据此，使得 \(\gcd(i,n)=d\) 的 \(i\) 的个数即 \(\varphi(\frac{n}{d})\)。因为\(\gcd(i,n)\in [1,n]\)，则
\(n=\sum\limits_{d|n}\sum\limits^n_{i=1}[\gcd(i,n)=d]=\sum\limits_{d|n}\sum\limits^n_{i=1}[\gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1] = \sum\limits_{d|n}\varphi(\frac{n}{d}) = \sum\limits_{d|n}\varphi(d)\)
[参考](欧拉反演 - IcMtr - 博客园 (cnblogs.com))
莫比乌斯函数：\(\mu(n)=\begin{cases}1& n=1\\ 0& n 包含相同质因子\\ (-1)^s& n=p_1p_2\cdots p_s\end{cases}\)
性质：\(\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)
证明：\(n=1\) 时显然。
\(n>1\) 时，\(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}\)，令 \(n'=p_1p_2\cdots p_s\)
例如 \(180=2^2\times 3^2\times 5^1,30=2*3*5\)
\(\sum\limits_{d|n}\mu(d)=\sum\limits_{d|n'}\mu(d)\)
因为 \(n\) 包含相同质因子 \(\mu(n)\) 即为0.
可以运用容斥原理，取 \(x\) 个质因子的方案数为 \(C_s^x\)
于是 \(=C^0_s+(-1)C_s^1+(-1)^2C_s^2+\cdots+(-1)^sC^s_s\\ =(1+(-1))^s\\ = 0\)
其中用到了二项式定理。需要复习
欧拉函数与莫比乌斯函数的联系： \(\sum\limits_{d|n}\mu(d)\dfrac{n}{d}=\varphi(n)\)
\(n=1\)，显然。
\(n>1\) 时， 令 \(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s},n'=p_1p_2\cdots p_s\)
\(\sum\limits_{d|n}\mu(d)\dfrac{n}{d}=n\sum\limits_{d|n'}\dfrac{\mu(d)}{d}\)
约数由质因子
\(n(1-(\dfrac{1}{p_1}+\cdots+\dfrac{1}{p_s}+)+(\dfrac{1}{p_1p_2}+\cdots+\dfrac{1}{p_{s-1}p_s})-\cdots)\\ =n(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})\cdots(\dfrac{1}{p_s})\\ = \varphi(n)\)
需要复习
狄利克雷卷积
\(F(x)G(x) =\sum_{n\ge 0}x^n\sum^n_{i=0}a_ib_{n-i}\)
\(c_k=\sum\limits_{i+j=k}a_ib_j\)
上面两种是加法型卷积，第二个是只考虑系数的卷积。但是加法卷积不能保留积性。这就有了狄利克雷卷积。
定义：\(f(n),g(n)\) 是两个积性函数
\((f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g{(\dfrac{n}{d})}=\sum\limits_{d|n}f(\dfrac{n}{d})g{(d)}\)
规律：1、交换律 \(fg=gf\)；2、结合律 \((fg)h=f(gh)\)；3、分配率 \((f+g)h=fh+gh\)。证明复杂，略去。
三个常用函数
- 元函数 \(\varepsilon (n)=[n=1]\)
- 常数函数 \(1(n) =1\)
- 恒等函数 \(id(n)=n\)；这其实是幂函数 \(id_k(n)=n^k\)，当 \(k=1\) 时为恒等函数
我们可以将前面证出的三个式子用卷积的角度表示出来：
\(\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n=1] \Longleftrightarrow \mu * 1 = \varepsilon\)
\(\sum\limits_{d|n} \varphi(d)=n \Longleftrightarrow \varphi * 1 = id\)
\(\sum\limits_{d|n} \mu(d)\dfrac{n}{d}=\varphi(n) \Longleftrightarrow \mu * id = \varphi\)
证明可以带回狄利克雷卷积。
此外：
\(f*\varepsilon=f\)
\(\color{orchid}{f * 1\ne f}\)
