狄利克雷卷积

狄利克雷卷积以及相关概念

狄利克雷生成函数：

$F(x)=\dfrac{a_1}{1^x}+\dfrac{a_2}{2^x}+\dfrac{a_3}{3^x}+\cdots=\sum\limits^\infty_{n=1}\dfrac{a_n}{n^x}$

乘法运算：

特点：普通和指数型生成函数的乘法是指数加，狄利克雷是指数积；狄利克雷的 $i$ 从 $1$ 开始。

$\sum\limits^\infty_{i=1}\dfrac{a_i}{i^x}\sum\limits^\infty_{j=1}\dfrac{a_j}{j^x}\\ =(\dfrac{a_1}{1^x}+\dfrac{a_2}{2^x}+\dfrac{a_3}{3^x}+\dfrac{a_4}{4^x}+\cdots)(\dfrac{b_1}{1^x}+\dfrac{b_2}{2^x}+\dfrac{b_3}{3^x}+\dfrac{b_4}{4^x}+\cdots)\\ \dfrac{1_1b_1}{1^x}+\dfrac{a_1b_2+a_2b_1}{2^x}+\dfrac{a_1b_3+a_3b_1}{3^x}+\dfrac{a_1b_4+a_2b_2+a_4b_1}{4^x}+\cdots \\ =\sum\limits^\infty_{n=1}\dfrac{1}{n^x}\sum\limits_{d|n}a_db_{\frac{n}{d}}$

这里对比一下前面两种生成函数的乘法：

$F(x)G(x) = \sum_{i\ge 0}a_ix^i\sum_{j\ge 0}b_jx^j=\sum_{n\ge 0}x^n\sum^n_{i=0}a_ib_{n-i}$

$\begin{aligned} F(x) & G(x)=\sum_{i \geq 0} a_i \frac{x^i}{i !} \sum_{j \geq 0} b_j \frac{x^j}{j !} \\ & =\sum_{n \geq 0} x^n \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} \frac{1}{i !(n-i) !} \\ & =\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n !} \sum_{i=0}^n \frac{n !}{i !(n-i) !} a_i b_{n-i} \\ & =\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n !} \sum_{i=0}^n C_n^i a_i b_{n-i} \end{aligned}$

积性函数： $f(1)=1$ ，当 $\gcd(a,b) = 1$ 时，有 $f(ab)=f(a)f(b)$ ，则称 $f(n)$ 为积性函数。

欧拉函数和莫比乌斯函数都是积性函数。

欧拉函数： $\varphi(n)=\sum^n_{i=1}[\gcd(i,n)=1]$

性质（欧拉反演）： $\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n$ ，例如 $\varphi(1)+\varphi(2)+\varphi(3)+\varphi(6) = 6$

证明：令 $i$ 是 $1\sim n$ 的整数， $d=\gcd(i,n)$ ，则 $\frac{i}{d}\perp \frac{n}{d}$ 。据此，使得 $\gcd(i,n)=d$ 的 $i$ 的个数即 $\varphi(\frac{n}{d})$ 。因为 $\gcd(i,n)\in [1,n]$ ，则

$n=\sum\limits_{d|n}\sum\limits^n_{i=1}[\gcd(i,n)=d]=\sum\limits_{d|n}\sum\limits^n_{i=1}[\gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1] = \sum\limits_{d|n}\varphi(\frac{n}{d}) = \sum\limits_{d|n}\varphi(d)$

[参考](欧拉反演 - IcMtr - 博客园 (cnblogs.com))

莫比乌斯函数： $\mu(n)=\begin{cases}1& n=1\\ 0& n 包含相同质因子\\ (-1)^s& n=p_1p_2\cdots p_s\end{cases}$

性质： $\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n=1]$

证明： $n=1$ 时显然。

$n>1$ 时， $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}$ ，令 $n'=p_1p_2\cdots p_s$

例如 $180=2^2\times 3^2\times 5^1,30=2*3*5$

$\sum\limits_{d|n}\mu(d)=\sum\limits_{d|n'}\mu(d)$

因为 $n$ 包含相同质因子 $\mu(n)$ 即为0.

可以运用容斥原理，取 $x$ 个质因子的方案数为 $C_s^x$

于是 $=C^0_s+(-1)C_s^1+(-1)^2C_s^2+\cdots+(-1)^sC^s_s\\ =(1+(-1))^s\\ = 0$

其中用到了二项式定理。需要复习

欧拉函数与莫比乌斯函数的联系： $\sum\limits_{d|n}\mu(d)\dfrac{n}{d}=\varphi(n)$

$n=1$ ，显然。

$n>1$ 时，令 $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s},n'=p_1p_2\cdots p_s$

$\sum\limits_{d|n}\mu(d)\dfrac{n}{d}=n\sum\limits_{d|n'}\dfrac{\mu(d)}{d}$

约数由质因子

$n(1-(\dfrac{1}{p_1}+\cdots+\dfrac{1}{p_s}+)+(\dfrac{1}{p_1p_2}+\cdots+\dfrac{1}{p_{s-1}p_s})-\cdots)\\ =n(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})\cdots(\dfrac{1}{p_s})\\ = \varphi(n)$