树的直径算法

树上任意两节点之间最长的简单路径即为树的「直径」。记 \(\delta(s, t)\) 为树的真实直径。

算法1，两遍dfs

首先从任意节点 \(y\) 开始进行第一次 DFS，到达距离其最远的节点，记为 \(z\)，然后再从 \(z\) 开始做第二次 DFS，到达距离 \(z\) 最远的节点，记为 \(z'\)，则 即为树的直径。

那么为什么此算法可行？

我们只需证明对于任意一点 \(x\) 经过第一次dfs之后到达的点 \(y\) 一定是 \(\delta(s,t)\) 的一端 \(s\) 或 \(t\)。

定理：在一棵树上，从任意节点 \(x\) 开始进行一次 DFS，到达的距离其最远的节点 \(z\) 必为直径的一端。

我们采用反证法。记出发点为 \(y\)，真实直径 \(\delta(s,t)\)，设从 \(y\) 进行的第一次dfs到达的距离其最远的点 \(z\) 不为 \(t\) 或 \(s\)。
那么有三种情况：

• 若 \(y\) 在 \(\delta(s,t)\) 上：那么 \(\delta(y,z)>\delta(y,t)\Rightarrow \delta(x,z)>\delta(x,t)\Rightarrow \delta(s,z)>\delta(s,t)\) 矛盾。其中 \(x\) 是 \(\delta(s,t)\) 上一中转点
  
• 若 \(y\) 不在直径上，且 \(\delta(y,z)\) 与 \(\delta(s,t)\) 有重合路径
  
  那么 \(\delta(y,z)>\delta(y,t)\Rightarrow \delta(x,z)>\delta(x,t)\Rightarrow \delta(s,z)>\delta(s,,t)\) 矛盾。
• 若 \(y\) 不在 \(\delta(s,t)\) 上，且 \(\delta(y,z)\) 与 \(\delta(s,t)\) 不存在重复路径：
  
  那么 \(\delta(y,z)>\delta(y,t)\Rightarrow \delta(x',z)>\delta(x',t)\Rightarrow\delta(x,z)>\delta(x,t)\Rightarrow\delta(s,z)>\delta(s,t)\)矛盾。
• 三种情况都矛盾，得证。

注意负权边不适用

那么代码实现就很简单了

const int N = 10005;

int n, c, d[N];
vector<int> e[N];

void dfs(int u, int fa) {
  for (int v :e[u]) {
    if (v == fa) continue;
    d[v] = d[u] + 1;
    if (d[v] > d[c]) c = v;
    dfs(v, u);
  }
}

int main() {
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int u, v;
    scanf("%d %d", &u, &v);
    e[u].push_back(v), e[v].push_back(u);
  }
  dfs(1, 0);
  d[c] = 0, dfs(c, 0);
  printf("%d\n", d[c]);
  return 0;
}

\(O(N)\)?

树形dp

每个节点作为子树的根向下，所能延伸的最远距离 \(d1\)，和次远距离 \(d2\)，那么直径就是所有 \(d1+d2\) 的最大值。

树形 DP 可以在存在负权边的情况下求解出树的直径。

const int N=10010,M=20010;
int n,a,b,c,ans;
struct edge{int v,w;};
vector<edge> e[N];

int dfs(int x,int fa){
  int d1=0,d2=0; 
  for(auto ed : e[x]){
    int y=ed.v, z=ed.w;
    if(y==fa) continue;
    int d=dfs(y,x)+z;
    if(d>=d1) d2=d1,d1=d;
    else if(d>d2) d2=d;
    // printf("回%d d1=%d d2=%d\n",x,d1,d2);
  }
  ans=max(ans,d1+d2);
  // printf("离%d ans=%d\n",x,ans);
  return d1;
}
int main(){
  cin>>n;
  for(int i=1; i<n; i++){
    cin>>a>>b>>c;
    e[a].push_back({b,c});
    e[b].push_back({a,c});
  }
  dfs(1,-1);
  cout << ans << endl;
  return 0;
}

最后的最后，始终要记住，树是无环的，这一性质很重要，在两个算法中都用到了。