裴蜀定理、Exgcd与乘法逆元

目录

• 裴蜀定理
• Exgcd 扩展欧几里得算法
• 例题：P5656，exgcd模板题

裴蜀定理

逆元并非对任何数存在……

定理：$ax+by=c$ 有解 $\{x,y\}$ 当且仅当 $c$ 是 $\gcd(a,b)$ 的倍数。

证明必要性：反证

假设 $c$ 不是 $\gcd(a,b)$ 的倍数。

设 $d=\gcd(a,b)$，将等式两边除以 $d$ 可得： $a\frac{x}d+b\frac{y}d=\frac{c}d$

因为 $d\mid a, d\mid b$，所以 $d\mid ax,d\mid by$，就有 $d\mid ax+by$，说明等式左边是一个整数。

然而 $c$ 不是 $d$ 的倍数，所以右边不是整数。矛盾。

那么，这和逆元有什么关系呢？

哦，发现 $\gcd(a,b)=1$ 的时候，方程变为 $ax+by=1,ax=1-by$，啊发现方程一定有解。

等式两边同时模 $b$，$ax\% b= (1-by)\%b = 1\%b-by\%b$，得到： $ax\equiv 1\pmod b$

艹，这不是逆元嘛……

而且根据裴蜀定理，发现 $gcd(a,b)>1$ 时这个方程无解。

$\gcd(a,b)=1$，此时求出的 $x$ 就是 $a^{-1}$

推论： $ax\equiv 1\pmod b$ 有解当且仅当 $a$ 与 $b$ 互质（也记作 $a\perp b$）

例题：P4549，模板题

Exgcd 扩展欧几里得算法

此算法用于求解 $ax+by=c$ 的解，其中 $(a,b)\mid c$

此方法的基本思路已经在如下几篇文章里讲的很清楚了：

https://www.luogu.com.cn/blog/command-block/tong-yu-xi1

https://oi-wiki.org/math/number-theory/gcd/

得到一个求出全解的递推公式：

$x_1=y_2;y_1=x_2-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2$

如果不会，可以背板子

int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
  if (!b) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  int d = Exgcd(b, a % b, x, y);
  int t = x;
  x = y;
  y = t - (a / b) * y;
  return d;
}

我们就可以用这个求逆元，$ax+by=1$

可是注意，这里的Exgcd算法并不是基于同余的算法，所以算出的结果可能是负数，啊我们只需要加上模数再模就能保证正数。即我们求出了 $x$，返回要(x+mod)%mod能够保证正数，其与x%mod(x>=0)是等价的。

例题：P5656，exgcd模板题

等我学会了……