费马小定理的证明

费马小定理的证明方法有很多种，有集合法、二项式定理法……

这里记录下集合证法，强化下记忆：

命题：若 $p$ 为质数，则 $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$

设集合 $T_1\{1,2,3,\dots,p-1\}$ 这 $p-1$ 个数，他们的积为 $(p-1)!\pmod p$

将这个集合的每一个元素都乘以 $a$，得到一个新集合：$T_2\{a,2a,3a,\dots,(p-1)a\}$ （时刻记住在 $\pmod p$ 的意义下）

那么 $T_2$ 的乘积就是 $(p-1)!\times a^{p-1}\pmod p$ ，如果 $\prod T_2 \equiv \prod T_1\pmod p$，则费马小定理成立。

我们需要先证明两个集合相等

那么我们首先证明 $T_2$ 中的数两两不同：

反证：如果这些数中有两个相同，得 $k_1 a\equiv k_2 a\pmod p$，其中 $k_1,k_2\in T_1 \and k_1 \ne k_2$，那么式子可以化为 $k_1a-k_2a\equiv 0\pmod p$，$a(k_1-k_2)\equiv 0\pmod p$，因为 $a$ 与 $p$ 互质，所以 $k_1-k_2$ 是 $p$ 的倍数，可是 $k_1,k_2$ 都是小于 $p$ 的正整数，相减不会大于 $p$，故不成立！得出，$T_2$ 中数字两两相同。

又，在模 $p$ 意义下，数字个数都有 $p-1$ 个，且数字两两不同，故 $T_1=T_2$

则 $\prod T_1\equiv \prod T_2 \pmod p$

得 $(p-1)!\equiv a^{p-1}\times (p-1)! \pmod p$

两边去掉阶乘，费马小定理得证。

很好的学习资料：https://www.luogu.com.cn/blog/command-block/tong-yu-xi1

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这个证法其实也可以扩展成证明欧拉定理的方法。也可以先证出欧拉定理，然后一步证出费马小定理。

欧拉定理：$a^{\varphi (p)}\equiv 1 \pmod p$

这个 $\varphi(p)$ 表示与 $p$ 互质的数的个数，$\varphi$、$\phi$、$\Phi$ 都是一个意思。

那么显然，p为质数的时候，$\varphi(p)=p-1$，一步得出费马小定理