费马小定理的证明

费马小定理的证明方法有很多种，有集合法、二项式定理法……

这里记录下集合证法，强化下记忆：

命题：若 \(p\) 为质数，则 \(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)

设集合 \(T_1\{1,2,3,\dots,p-1\}\) 这 \(p-1\) 个数，他们的积为 \((p-1)!\pmod p\)

将这个集合的每一个元素都乘以 \(a\)，得到一个新集合：\(T_2\{a,2a,3a,\dots,(p-1)a\}\) （时刻记住在 \(\pmod p\) 的意义下）

那么 \(T_2\) 的乘积就是 \((p-1)!\times a^{p-1}\pmod p\) ，如果 \(\prod T_2 \equiv \prod T_1\pmod p\)，则费马小定理成立。

我们需要先证明两个集合相等

那么我们首先证明 \(T_2\) 中的数两两不同：

反证：如果这些数中有两个相同，得 \(k_1 a\equiv k_2 a\pmod p\)，其中 \(k_1,k_2\in T_1 \and k_1 \ne k_2\)，那么式子可以化为 \(k_1a-k_2a\equiv 0\pmod p\)，\(a(k_1-k_2)\equiv 0\pmod p\)，因为 \(a\) 与 \(p\) 互质，所以 \(k_1-k_2\) 是 \(p\) 的倍数，可是 \(k_1,k_2\) 都是小于 \(p\) 的正整数，相减不会大于 \(p\)，故不成立！得出，\(T_2\) 中数字两两相同。

又，在模 \(p\) 意义下，数字个数都有 \(p-1\) 个，且数字两两不同，故 \(T_1=T_2\)

则 \(\prod T_1\equiv \prod T_2 \pmod p\)

得 \((p-1)!\equiv a^{p-1}\times (p-1)! \pmod p\)

两边去掉阶乘，费马小定理得证。

很好的学习资料：https://www.luogu.com.cn/blog/command-block/tong-yu-xi1

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这个证法其实也可以扩展成证明欧拉定理的方法。也可以先证出欧拉定理，然后一步证出费马小定理。

欧拉定理：\(a^{\varphi (p)}\equiv 1 \pmod p\)

这个 \(\varphi(p)\) 表示与 \(p\) 互质的数的个数，\(\varphi\)、\(\phi\)、\(\Phi\) 都是一个意思。

那么显然，p为质数的时候，\(\varphi(p)=p-1\)，一步得出费马小定理