随笔分类 - 数学：数论学习

摘要：线性求逆元令

k = ⌊ \frac{p}{i} ⌋, r = p \mod i

$k= \left\lfloor\dfrac{p}{i}\right\rfloor,r=p\mod i$ 。有

p \equiv i k + r \equiv 0 (\mod p)

$p\equiv ik+r\equiv 0 \pmod p$ 在两边分别乘上

i^{- 1}

$i^{-1}$ 、

j^{- 1}

$j^{-1}$ 。得到 $(ik+r)(i^{-1}r^{-1})\equ 阅读全文

posted @ 2023-01-07 23:41 Vegdie 阅读(16) 评论(0) 推荐(0) 编辑

和式的变换以及几道例题

摘要：和式的变换与推导例题规则

\sum_{k \in K} c a_{k} = c \sum_{k \in K} a_{k}

$\sum\limits_{k\in K} ca_k=c\sum\limits_{k\in K}a_k$

\sum_{k \in K} (a_{k} + b_{k}) = \sum_{k \in K} a_{k} + \sum_{k \in K} b_{k}

$\sum\limits_{k\in K}(a_k+b_k)=\sum\limits_{k\in K}a_k+\sum\limits_{k\in K}b_k$ $\s 阅读全文

posted @ 2022-12-30 17:20 Vegdie 阅读(362) 评论(0) 推荐(3) 编辑

狄利克雷卷积

摘要：狄利克雷卷积以及相关概念狄利克雷生成函数：

F (x) = \frac{a_{1}}{1^{x}} + \frac{a_{2}}{2^{x}} + \frac{a_{3}}{3^{x}} + \dots = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}

$F(x)=\dfrac{a_1}{1^x}+\dfrac{a_2}{2^x}+\dfrac{a_3}{3^x}+\cdots=\sum\limits^\infty_{n=1}\dfrac{a_n}{n^x}$ 乘法运算：特点：普通和指数型生成函数的乘阅读全文

posted @ 2022-12-29 07:45 Vegdie 阅读(61) 评论(0) 推荐(0) 编辑

卢卡斯定理

摘要：今天终于明白了卢卡斯定理的证法！定理卢卡斯（Lucas）定理：若

p

$p$ 是质数 $$\binom {n} {m}\mod p = \binom {\lfloor n/p\rfloor}{\lfloor m/p\rfloor}\cdot \binom {n \mod p}{m \mod p} \ 阅读全文

posted @ 2022-10-25 20:17 Vegdie 阅读(84) 评论(1) 推荐(0) 编辑

中国剩余定理

摘要：中国剩余定理用来求解同余方程组。其中

m_{i}

$m_i$ 两两互质

{\begin{cases} x & \equiv a_{1} (\mod m_{1}) x & \equiv a_{2} (\mod m_{2}) & ⋮ x & \equiv a_{k} (\mod m_{k}) \end{cases}

$\begin{cases} x &\equiv a_1 \pmod {m_1}\ x &\equiv a_2 \pmod{m_2}\ &\vdots\ x & \equiv a_k\pmod {m_k}\ \end{cases}$ 定阅读全文

posted @ 2022-10-24 06:21 Vegdie 阅读(57) 评论(0) 推荐(0) 编辑

裴蜀定理、Exgcd与乘法逆元

摘要：裴蜀定理逆元并非对任何数存在…… 定理：

a x + b y = c

$ax+by=c$ 有解

x, y

${x,y}$ 当且仅当

c

$c$ 是

gcd (a, b)

$\gcd(a,b)$ 的倍数。证明必要性：反证假设

c

$c$ 不是

gcd (a, b)

$\gcd(a,b)$ 的倍数。设

d = gcd (a, b)

$d=\gcd(a,b)$ ，将等式两边除以

d

$d$ 可得： $a\frac{x}d+ 阅读全文

posted @ 2022-10-23 21:23 Vegdie 阅读(49) 评论(0) 推荐(0) 编辑

费马小定理的证明

摘要：费马小定理的证明方法有很多种，有集合法、二项式定理法…… 这里记录下集合证法，强化下记忆：命题：若

p

$p$ 为质数，则

a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)

$a^{p-1}\equiv 1\pmod p$ 设集合

T_{1} 1, 2, 3, \dots, p - 1

$T_1{1,2,3,\dots,p-1}$ 这

p - 1

$p-1$ 个数，他们的积为

(p - 1)! (\mod p)

$(p-1)!\pmod p$ 将这个集阅读全文

posted @ 2022-10-23 16:34 Vegdie 阅读(637) 评论(0) 推荐(0) 编辑

威尔逊定理

摘要：威尔逊定理：

(p - 1)! \equiv - 1 (\mod p)

$(p-1)!\equiv -1\pmod{p}$ 证明：我们只道在模奇素数

p

$p$ 意义下，

1, 2, \dots, p - 1

$1,2,\dots,p-1$ 都存在逆元且唯一，且逆元也一定在

1 \leq a^{'} \leq p - 1

$1\le a' \le p-1$ ，那么只需要将一个数与其逆元配对发现其乘积均为（同余意义下）

1

$1$ ，但前提是这个数的逆阅读全文

posted @ 2022-10-22 21:48 Vegdie 阅读(77) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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