一次函数与反比例函数初步解析

提要

在前面的话

  • 一次函数是函数领域最具有代表性,也是最简单的函数。
  • 反比例函数同样具有代表性的函数体。
    二者具有类似的性质,反比例函数与一次函数相结合能够碰撞出多种变化的规律与结论。因此,对于函数领域的研究,有必要从一次函数、反比例函数、一次函数与反比例函数结合体探究起。

计划分布

通过剖析函数定义,解读一次函数,解读反比例函数,进而理解二者性质。然后进行二者结合的研究

Path

  • 理解函数定义
  • 理解一次函数及图像
  • 理解反比例函数及图像
  • 初步一次函数与反比例函数结合
  • 研究一次函数与反比例函数图像结合

1 函数(Founction)

1.1 代数定义

“设x和y是两个变量,D是一个给定的数集。如果对于每个数x∈D,变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应。则称y是x的函数,记作y=f(x).数集D叫做这个函数的定义域,x叫做自变量,y叫做因变量。”(《高等数学》,同济大学数学研究室主编,1995年3月第16次印刷)
类似地,对应值y的数集I叫做这个函数的值域(初步理解)

解析

  • 定义给出了7个名词:变量、数集、函数、定义域、值域、自变量、因变量。
  1. 变量的给出,代表函数不是一个确定的等式,而是可变的等式
  2. x所属的数集D,并没有给出具体限制,所以D可以包含任意数(或集合)。——在遇到函数问题时,应时刻注意数集D的给定区间。
  3. 函数是“对于x而言连续”的。即对于数集D内每个x值,y都必须有相应的确定的数值对应。故“y对于x而言连续”是判断函数的一个必要条件
  4. 定义域定义的给出,并不十分严谨,如果该数集为空,实际情况而言是不符合函数定义的...——所以尽量不要较之,还是更多联系函数产生的目的
  5. 因为y只要按照“一定法则”对于x做运算即可,所以数集R同样不一定连续分布在数轴上。——注意:函数运用较多的,定义域是区间,因此元素x更多时候是连续分布在数轴上的。但是数集R则情况不定——>例如将要研究的反比例函数,值域的所有元素不是连续分布在数轴上。
  6. 自变量和因变量则...读者自悟

函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可以改用其他字母,例如“F” “G”等等。这时函数就记作y=F(x),y=G(x)。”(同上)

1.2 图形

“设函数y=f(x)的定义域为D,对于任意取定的x∈D,对应的函数值为y=f(x).这样,以x为横坐标、y为纵坐标就在xOy平面上确定一点(x,y).当x遍取D上的每一个数值时,就得到点(x,y)的一个集合C:

\[C=\{(x,y)|y=f(x),x\in D\} \]

这个点C成为函数y=f(x)的图形。

见配图1-1
image

2 一次函数

定义
形如 f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0)的函数叫做一次函数。

...挺离谱的一个形式定义,不过言简意赅,可以很直接地通过定义理解一次函数:

2.1 一次函数性质

  • 一次函数在x∈(-∞,∞)内无界(定义域D在D={a|a∈[m,n]|m,n∈R}内有界、doge)。
  • 一次函数具有单调性。当常量k∈(0,∞)时,一次函数在x∈(-∞,∞)上单调增加;当常量k∈(-∞,0)时,一次函数在x∈(-∞,∞)上单调减少。
  • 当b=0时,一次函数为奇函数
  • (以上性质读者自证)

2.2 一次函数一般图像

见配图2-1
由此可得:当b≠0时,一次函数图像经过三个象限;当b=0时,一次函数图像经过(0,0).经过两个象限。
image
更多地:

  • k∈(0,∞),b∈(0,∞)时,一次函数图像经过第一、二、三象限,不经过第四象限,不过原点O。
  • k∈(-∞,0),b∈(0,∞)时,一次函数图像经过第一、二、四象限,不经过第三象限,不过原点O。
  • k∈(0,∞),b∈(-∞,0)时,一次函数图像经过第一、三、四象限,不经过第二象限,不过原点O。
  • k∈(-∞,0),b∈(-∞,0)时,一次函数图像经过第二、三、四象限,不经过第一象限,不过原点O。
  • b=0时,k∈(0,∞)时,一次函数图像经过第一、三象限;k∈(-∞,0)时,一次函数图像经过第二、四象限。过原点O。
    见配图2-2
    image

2.3 一次函数的一些规律

  • 斜率=常量k
    • 设f(x)=kx+b.那么f'(x)=k。
    • 图像与x、y轴夹角不变。
    • 线性函数,给定图像上任意两点即可作出该一次函数⇔给定C内任意两个元素,即能求出对应的一次函数解析式
  • 定义域和值域都可以取任意实数
  • !图像过点P(0,b)点和点Q(-b/k,0)!⇔ PQ所在直线即为该一次函数图像
  • |k|越大,图像与x轴夹角越接近90°;|k|越小,图像与x轴夹角越接近0°

2.4 利用一次函数图像解决问题

例2-1:已知函数 y=kx,有一点P(2,3),点Q(5,6),当函数y与线段PQ有且只有一交点时,求k的范围.
此类地形常出现在综合函数、几何中的一小步骤,虽然很简单,但是我们有必要借此机会研究清晰,以防在综合求解中此类步骤出错。
解析:点P、Q坐标已知,函数y=kx,由2.3可知b=0时,图像过点O(0,0)。
建立平面直角坐标系:

不难看出,函数y是以O为支点转动的一条直线。我们且可随意作一条:
image
发现此时函数与线段无交点。当线逆时针转动的过程中,首先与线段PQ的交点为Q
image
继续向上运动的过程中,一段时间内,直线y都与PQ有且只有一个交点:
image
当转动到与P相交时,如继续逆时针运动,则直线y与PQ无交点,故满足题意的函数y的图像逆时针运动时的临界一为Q,一为P。
换句话说,即为,y的图像可以在P、Q间运动:
image
也就是,在P点时,均满足f(Px)≤Py;在Q点时,均满足f(Qx)≥Qy的k的取值为符合题意的取值。那么就可以列出不等式:

\[ k∈\left\{ \begin{aligned} f(2) & ≤ 3 \\ f(5) & ≥ 6 \\ \end{aligned} \right.\]

解得

\[k∈[1.2,1.5] \]

而k=1.2时,函数图像过点Q;k=1.5时,函数图象过点P。

一般性规律

进一步的,我们可以把此类问题归划为总体:
“已知函数y=kx(k≠0),已知一条线段的坐标,求交点问题。”
见配图2-3
image
image
例2-2:已知函数y=x+b,和点P(2,3),点Q(5,6).当函数y与线段PQ有且仅有一个交点时,求b的取值范围。
解析:由例题2-1分析法,作图,找到函数y运动的一般性规律,求出两个临界即可列不等式求解集:
image
解得:b=1

一般性规律

进一步的,我们可以把此类问题规划为总体:
“已知函数y=ax+b(a已知,a≠0),已知一条线段的坐标,求交点问题。”
image

3 反比例函数

定义
xy=k(k≠0),那么因变量y与自变量x满足反比例关系。一般的,如果两个变量x,y之间的关系可以表示成 \(\frac{k}{x}\)(k为常数,k≠0,x≠0)

这里提到了反比例关系,由定义得,x增大,对应y会减小;x减小,对应y会增大。
由于上定义函数是一个隐函数,故:一般地,反比例函数也表示为 y = k/x (k!=0)

3.1 反比例函数的性质

  • 当x∈(-∞,∞)/{0}时,函数y无界。
  • 函数y分别在(-∞,0),(0,∞)上单调
  • 反比例函数是奇函数

3.2 反比例函数一般图像

根据定义以及性质,我们不难画出反比例函数图像:

\[y = 1/x \]

image

\[y = -1/x \]

image

观察发现,反比例函数固定在两个象限内:一、三;二、四

3.3 反比例函数一些规律

  • 由图像以及性质发现,函数y有两条渐近线,分别是x、y轴。故,可知,在y轴两侧的函数图像陡,即斜率变化大,在x轴两侧的图像平缓,斜率变化小
  • 反比例函数存在特殊点,由算式得,k>0时,函数图像必经过点(-1,-1),(1,1);k<0时,函数图像必经过点(-1,1),(1,-1)
  • 根据奇偶性可知,函数图象中心对称
  • |k|越大,函数靠近渐近线的速度越大(导数变化越快),相反自得

3.4 利用反比例函数图像解决问题

例3-1:已知函数 y=k/x(k!=0),有一点P(0.2,3),点Q(0.5,3),当函数y与线段PQ有且只有一交点时,求k的范围.
解析:
观察到,线段PQ在第一象限,故可得k>0
我们通过作图直观感受一下:
image
不难发现,同例2-1思路,可列出不等式组:

\[ \left\{ \begin{aligned} f(0.2) & ≥ 3 \\ f(0.5) & ≤ 3 \\ \end{aligned} \right.\]

解得:

\[k∈[0.6,1.5] \]

例3-2:已知函数 y=2/x, 点Q(3,0),若存在点P(a,b)在y上,使得SΔOPQ≤1.5,求a的取值范围.
有关反比例函数与面积的问题也是一大典型,在一次函数与反比例函数综合题目中常作为最后一问考察学生对反比例函数的性质的熟练掌握与几何的综合分析能力
解析:
我们先把图像做出:
image

不难有式:

\[S = 1/2*OQ*|b| = 3/2*|b| \]

于是有不等式:

\[3/2*|b| ≤ 3/2 \]

解得:

\[b∈[-1,1] \]

根据反比例函数可知,y!=0,但这不妨碍我们在单调区间内取到边界
于是有不等式:

\[ \left\{ \begin{aligned} f(x) & ≥ -1 \\ f(x) & ≤ 1 \\ \end{aligned} \right.\]

解得:

\[x∈(-∞,-1]∪[1,∞) \]

其余类型题由于较容易,请读者自理自做

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