Openjudge NOI题库 数论185 反正切函数的应用

Openjudge-185反正切函数的应用

185:反正切函数的应用
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描述
反正切函数可展开成无穷级数，有如下公式
 (其中0 <= x <= 1) 公式(1)
使用反正切函数计算PI是一种常用的方法。例如，最简单的计算PI的方法：
    PI=4arctan(1)=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...) 公式(2)
然而，这种方法的效率很低，但我们可以根据角度和的正切函数公式：
    tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)*tan(b)] 公式(3)
通过简单的变换得到：
    arctan(p)+arctan(q)=arctan[(p+q)/(1-pq)] 公式(4)
利用这个公式，令p=1/2,q=1/3，则(p+q)/(1-pq)=1，有
    arctan(1/2)+arctan(1/3)=arctan[(1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)]=arctan(1)
使用1/2和1/3的反正切来计算arctan(1)，速度就快多了。
我们将公式(4)写成如下形式
    arctan(1/a)=arctan(1/b)+arctan(1/c)
其中a,b和c均为正整数。

    我们的问题是：对于每一个给定的a（1 <= a <= 60000），求b＋c的值。我们保证对于任意的a都存在整数解。如果有多个解，要求你给出b+c最小的解。
输入
    输入文件中只有一个正整数a，其中 1 <= a <= 60000。
输出
    输出文件中只有一个整数，为 b+c 的值。
样例输入
1
样例输出
5

题意：对于每一个给定的a（1 <= a <= 60000），保证存在整数解b,c满足：

         p=1/b

         q=1/c

         r=(p+q)/(1-pq)=1/a

         求整数b,c且输出最小的b+c。

 　

过程：

数论分析——

/*

目标1）——题目问b+c，我们就把b+c表示出来

*/

经整理，

         r的分子：(p+q)=1/b + 1/c=(b+c)/bc

         r的分母：(1-pq)=1 - 1/bc=(bc-1)/bc

         r=(p+q)/(1-pq)=(b+c)/(bc-1)

         a=1/r=(bc-1)/(b+c)

         b+c=(bc-1)/a①

题目要求b+c最小整数解，

即求整数b,c使得bc-1|a并且bc-1最小。②

此时尝试从信息学角度考虑，我们的算法将枚举b,c以满足上述条件，

但是双变量的枚举将造成O(n^2)的时间复杂度，我们希望减少一个枚举量

所以——

 

目标2）——尝试减少一个枚举量，如将b移动至等号一边

         a(b+c)=bc-1

         ab+ac=bc-1

         ac+1=bc-ab

         b=(ac+1)/(c-a)①

——嘿嘿，只需要枚举c即可

         又因为b,c为正整数，即b,c > 0，

         所以枚举整数c，  只要c满足：使得b是个整数，取b+c最小值即可。

         来来来，我们确定一下枚举范围：

                  其中c1使得。。。。。

                   c2使得。。。。。

Oh!!Oh!!Oh！！！

出事故了！！

         在递减枚举c的时候，b的单调性不明朗，c的枚举范围怎么确定呀？！

         原因就在：①式等号右边，分子分母都存在枚举量，影响单调性

所以——

 

目标3）——将①式等号右边的枚举量统一放在 分子or分母 处

         这时候我们将用到枚举中一个非常重要的技巧——改变枚举量

         因为c>a

         我们惊奇的发现①中分母为（c-a），

直觉告诉我们只需要设c=a+x，分母就是(c-a)=(a+x-a)=x，目标三就达成啦*^ ~ ^*

于是令c=a+x，

①　　==>   b=(aa+ax+1)/x=a+(aa+1)/x

哇，多么美妙的单调减函数呀~

故，枚举x from aa+1 to 1

满足x使得b是个整数，立即输出吧~

代码时间复杂度O(a^2)

 

算法分析结束！！Conguatulations~~

 

代码建立——emm还没来得及写代码……