Problem F: 等式

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654

题解：　

　　          a₁*x₁³+a₂*x₂³+a₃*x₃³+a₄*x₄³+a₅*x₅³ = 0

　  <==> a₁*x₁³+a₂*x₂³+a₃*x₃³ = -1*(a₄*x₄³+a₅*x₅³)

　　可以想办法利用三重循环枚举x1，x2，x3，算出a1*x1^3+a2*x2^3+a3*x^3得到的所有的100*100*100个值，先储存起来，假设存在a[ ]数组里。然后利用两重循环枚举x4，x5，逐个算出-1*(a4*x4^3+a5*x5^3)的所有值，如果这个值也存在于a[ ]中，就代表找到一组可行解，答案+1。

       现在的问题就变成了如何快速的查找a[ ]中的值，如果从头到尾扫一遍，那时间复杂度和直接五重循环枚举没有什么区别。

       这个问题可以用哈希表优化，先不解释哈希表是什么。先考虑如下问题：

       如果要存储和查找线性表(1，75，324，43，1353，90，46)，有两种基本的思路：一种是定义一个数组A[10]，把它们依次存入，但是这会给查找操作带来O(n)的时间复杂度，当数字非常多时，效率也许不可接受；第二种方法是定义数组A[2000]，把这几个数字作为下标，即A[1]=1，A[75]=1，A[324]=1，A[43]=1，A[1353]=1，A[90]=1，A[46]=1，这样查找有没有x时只需判断A[x]是否等于1就可以了时间复杂度O(1)，但是这种方法的问题也很大，就是空间浪费多，空间复杂度高。

　　现在考虑优化第二种方法，假设我们设计函数h(x) = x mod 1235789 ，把原来的A[x]=1的操作变成A[ h(x) ] = 1 ，这样一来把数组大小设置为1235789就可以了。这样做也存在一定的问题: a != b 但 h(a) = h(b) = val 的情况是肯定存在的。问题也好解决，假设有m个数的h( )值都等于val，不妨把这m个值都用邻接表存起来（大致相当于A数组变成二维数组，只是第二维长度不定，m个数都存在A[ val ][ ]里 )，当要找q在不在A里时，就在A[ h(q) ][ ]里找，这个查找量比在所有数字中找要小的太多太多了，因为第二维会很短，毕竟h(a)=h(b)的情况并不多。

　　看懂了上述问题及分析也就知道了这个题怎么做，a1*x1^3+a2*x2^3+a3*x^3得到的所有的100*100*100个值就相当于上面1，75，324那7个值，逐个算出的 -1*(a4*x4^3+a5*x5^3)的所有值就相当于要查找的q，把答案统计出来即可。

　　注意：负数取模存在问题，而a1*x1^3+a2*x2^3+a3*x^3 与 (a4*x4^3+a5*x5^3)要想成为一组解，肯定互为相反数，不妨用unsigned long long 或 unsigned int类型再取模。 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
const int mod = 1235789;
struct A {
    ULL val;
    int next;
}a[2000000];
int cnt, head[mod];
int a1, a2, a3, a4, a5, a6, ANS;
inline ULL calc(int x,int y) {
    return x*y*y*y;
}
inline void insert(int x, int y, int z) {
    ULL tmp1 = calc(a1, x) + calc(a2, y) + calc(a3, z);
    int tmp2 = int(tmp1 % (ULL)mod);
    a[++cnt].val = tmp1;
    a[cnt].next = head[tmp2];
    head[tmp2] = cnt;
}
inline int ser(int x, int y) {
    ULL tmp1 = -1 * (calc(a4, x) + calc(a5, y));
    int tmp2 = int(tmp1 % (ULL)mod);
    int ans = 0;
    for (int i = head[tmp2]; i != -1; i = a[i].next) {
        if (a[i].val == tmp1) ans++;
    }
    return ans;
}
int main() {
    while (cin >> a1 >> a2 >> a3 >> a4 >> a5) {
        cnt = 0;
        for (int i = 0; i < mod; i++) head[i] = -1;
        for (int i = -50; i <= 50; i++) {
            for (int j = -50; j <= 50; j++) {
                for (int k = -50; k <= 50; k++) {
                    if (i != 0 && j != 0 && k != 0) {
                        insert(i, j, k);
                    }
                }
            }
        }
        ANS = 0;
        for (int i = -50; i <= 50; i++) {
            for (int j = -50; j <= 50; j++) {
                if (i != 0 && j != 0) {
                    ANS += ser(i, j);
                }
            }
        }
        cout << ANS << endl;
    }
    return 0;
}