cogs 1962. [HAOI2015]树上染色

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【题目描述】

有一棵点数为N的树，树边有边权。给你一个在0~N之内的正整数K，你要在这棵树中选择K个点，将其染成黑色，并将其他的N-K个点染成白色。将所有点染色后，你会获得黑点两两之间的距离加上白点两两之间距离的和的收益。问收益最大值是多少。

【输入格式】

第一行两个整数N,K。

接下来N-1行每行三个正整数fr,to,dis，表示该树中存在一条长度为dis的边(fr,to)。输入保证所有点之间是联通的。

【输出格式】

输出一个正整数，表示收益的最大值。

【输入样例1】

3 1

1 2 1

1 3 2

【输出样例1】

3

【输入样例2】

5 2

1 2 3

1 5 1

2 3 1

2 4 2

【输出样例2】

17

【样例解释】

在第二个样例中，将点1,2染黑就能获得最大收益。

【数据范围】

对于30%的数据，N<=20

对于50%的数据，N<=100

对于100%的数据，N<=2000,0<=K<=N

 

题解：

　　这是一道树形DP，考虑对于每一条边，它对答案的贡献值=两端的黑点个数乘积*边权+两端白点个数乘积*边权。

　　令f[i][j]表示以i为根的子树中，有j个黑点的最大收益。对于某一个节点x及其某一儿子y，考虑x与y的连边对答案的贡献，我们可以先枚举x中的黑点个数，再枚举y的黑点个数，用类似01背包来转移。

/**************************************************************
    Problem: 4033
    User: __abcdef__
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:6824 ms
    Memory:32932 kb
****************************************************************/
 
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL inf=1e15,maxn=2010;
LL N,K;
vector<LL> to[maxn],cost[maxn];
LL fa[maxn],f[maxn][maxn],siz[maxn];
inline void dfs(LL x,LL fath){
    fa[x]=fath; siz[x]=1;
    for(int i=0;i<to[x].size();i++){
        LL y=to[x][i];
        if(y!=fath){
            dfs(y,x);
            siz[x]+=siz[y];
        }
    }
}
 
inline void calc(LL x){//计算以x为根的情况 
    f[x][0]=0; f[x][1]=0;
    if(siz[x]==1) return ;//叶子节点
    for(int i=0;i<to[x].size();i++){//枚举子树 
        LL y=to[x][i],val=cost[x][i]; 
        if(y!=fa[x]){
            calc(y);
            for(int tot=min(K,siz[x]);tot>=0;tot--){//枚举以x为根的子树中有几个黑点  
                for(int j=0;j<=min(siz[y],K)&&j<=tot;j++){//这个子树中有多少黑点 
                    LL ans1=(LL)j*(K-(LL)j)*val;
                    LL ans2=(siz[y]-(LL)j)*(N-K-(siz[y]-(LL)j))*val;
                    LL tmp=f[y][j]+ans1+ans2;
                    f[x][tot]=max(f[x][tot],f[x][tot-j]+tmp);   
                }
            }
        }
    }
}
 
int main(){
    scanf("%lld%lld",&N,&K);
    for(int i=1;i<=N-1;i++){
        LL u,v,c;
        scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&c);
        to[u].push_back(v); cost[u].push_back(c);
        to[v].push_back(u); cost[v].push_back(c);
    }
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int j=1;j<=N;j++){
            f[i][j]=-inf;
        }
    }
    dfs(1,-1);
    calc(1);
    printf("%lld\n",f[1][K]);
    return 0;
}