线性函数
时间限制：2s 内存限制：256mb
问题描述：
小C最近在学习线性函数，线性函数可以表示为：f(x) = kx + b。现在小C面前有n个线性函数，他对这n个线性函数执行m次操作，每次可以：
1.M i K B 代表把第i个线性函数改为：。
2.Q l r x 返回 mod 。
输入格式：
第一行两个整数n, m (1 <= n, m <= 200,000)。
接下来n行，每行两个整数ki, bi。
接下来m行，每行的格式为M i K B或者Q l r x。
输出格式：
对于每个Q操作，输出一行答案。
样例：
5 5
4 2
3 6
5 7
2 6
7 5
Q 1 5 1
Q 3 3 2
M 3 10 6
Q 1 4 3
Q 3 4 4 1825
17
978
98
数据范围：
20% ： n, m <= 1000
另外10% ：b = 0
另外10% ：k = 1
100%：1 <= n, m <= 200,000，0 <= k, b, x < 1000,000,007
题解：
考虑到三个线性函数 k1 * x + b1，k2 * x + b2，k3 * x + b3。
先复合前两个函数，后复合第三个函数的结果是：k3*(k2*(k1*x+b1)+b2)+b3=k1*k2*k3*x+b1*k2*k3+b2*k3+b3。
先复合后两个函数：k3(k2*x+b2)+b3=k2*k3*x+b2*k3+b3，再复合第一个函数：k1*k2*k3*x+b1*k2*k3+b2*k3+b3。
两个结果是一样的，所以函数的复合满足结合律。
或者用矩阵来证明，线性函数可以用一个矩阵来表示，而矩阵乘法是具有结合律的，所以线性函数的复合也满足结合律。
有了上述性质，就可以利用线段树维护区间的复合函数，这样就可以在时间内算出答案。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstdlib> 4 #include<cstring> 5 #include<cmath> 6 #include<algorithm> 7 #include<queue> 8 #include<vector> 9 using namespace std; 10 typedef long long LL; 11 const LL mod=1e9+7,maxn=200010; 12 LL N,M,k[maxn],b[maxn]; 13 char s[10]; 14 struct Tree{ 15 LL l,r,k,b; 16 Tree(){ k=1; b=0; } 17 }T[maxn*10]; 18 inline Tree unionn(Tree x,Tree y){ 19 Tree ans; 20 ans.k=(x.k*y.k)%mod; ans.b=((x.b*y.k)%mod+y.b)%mod; 21 return ans; 22 } 23 inline void update(LL rt){ 24 T[rt].k=(T[rt<<1].k*T[rt<<1|1].k)%mod; 25 T[rt].b=((T[rt<<1].b*T[rt<<1|1].k)%mod+T[rt<<1|1].b)%mod; 26 } 27 inline void build(LL rt,LL l,LL r){ 28 T[rt].l=l; T[rt].r=r; 29 if(l==r){ 30 T[rt].k=k[l]%mod; T[rt].b=b[l]%mod; 31 return ; 32 } 33 LL mid=(l+r)>>1; 34 build(rt<<1,l,mid); 35 build(rt<<1|1,mid+1,r); 36 update(rt); 37 } 38 inline void change(LL rt,LL pos,LL K,LL B){ 39 if(T[rt].l==T[rt].r){ 40 T[rt].k=K; T[rt].b=B; 41 return ; 42 } 43 LL mid=(T[rt].l+T[rt].r)>>1; 44 if(pos<=mid) change(rt<<1,pos,K,B); 45 else change(rt<<1|1,pos,K,B); 46 update(rt); 47 } 48 inline Tree query(LL rt,LL l,LL r){ 49 if(l<=T[rt].l&&T[rt].r<=r){ 50 return T[rt]; 51 } 52 LL mid=(T[rt].l+T[rt].r)>>1; 53 Tree ans; 54 if(l<=mid) ans=unionn(ans,query(rt<<1,l,r)); 55 if(mid+1<=r) ans=unionn(ans,query(rt<<1|1,l,r)); 56 return ans; 57 } 58 int main(){ 59 // freopen("func.in","r",stdin); 60 // freopen("func.out","w",stdout); 61 scanf("%lld%lld",&N,&M); 62 for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%lld%lld",&k[i],&b[i]); 63 build(1,1,N); 64 while(M--){ 65 LL x,y,z; 66 scanf("%s%lld%lld%lld",s,&x,&y,&z); 67 if(s[0]=='Q'){ 68 Tree tmp=query(1,x,y); 69 LL ans=((tmp.k*z)%mod+tmp.b)%mod; 70 printf("%lld\n",ans); 71 } 72 else change(1,x,y,z); 73 } 74 return 0; 75 }
