bzoj 2734: [HNOI2012]集合选数

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Description

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n≤100000，如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就 交给你了。 
 

Input

 只有一行，其中有一个正整数 n，30%的数据满足 n≤20。 
 

Output

 仅包含一个正整数，表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件 的子集。 
 

Sample Input

4

Sample Output

8

【样例解释】

有8 个集合满足要求，分别是空集，{1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}。

HINT

 

Source

day2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[Submit][Status][Discuss]

题解：

　　这题的关键就是能不能看出来要构造一个矩阵，假设集合里有一元素x，则矩阵为：

　　　　1x 3x   9x   27x…

　　　　2x 6x   18x 54x…

　　　　4x 12x 36x 108x…

　　根据N的范围，发现最多有11列，18行，我们在其中选取一些数，不能选择相邻的，用状压DP找出方案总数，但是5没有出现，同样5的倍数也没有出现，7也没有出现，对于小于N的，还有好多数没有出现，所以应该记录哪些数字出现过，没出现过就作为矩阵的第一个元素，再次构造矩阵，最后把若干个矩阵的方案数相乘，注意取模。

　　然而我被这题坑了好多次，都是TLE，因为我把f[][]数组开成100*3000的，这样一来每次构造矩阵清空的时候都会调用memset(f,0,sizeof(0)); memset的复杂度和数组大小有关，所以超时。。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MOD=1000000001;
const LL maxn=100010;
LL N,ANS=1,b[20][15];
LL f[20][2048];//f[i][j]表示第i行用状态j的可行方案数  
LL state[20];
bool vis[maxn];
inline void calc(LL x){
    memset(b,0,sizeof(b)); memset(f,0,sizeof(f)); memset(state,0,sizeof(state));
    //构造矩阵 
    b[1][1]=x;
    for(LL i=2;i<=11;i++){
        if(b[1][i-1]*3<=N) b[1][i]=b[1][i-1]*3;
        else b[1][i]=N+1;//超过N的直接用N+1，以免爆long long 
    }
    for(LL i=2;i<=18;i++){
        for(LL j=1;j<=11;j++){
            if(b[i-1][j]*2<=N) b[i][j]=b[i-1][j]*2;
            else b[i][j]=N+1;
        }
    }
    /* 选出每一行的可能状态 */
    for(int i=1;i<=18;i++){
        for(int j=1;j<=11;j++){
            if(b[i][j]<=N){
                state[i]+=(1<<(j-1));//根据反向对称性 
                vis[b[i][j]]=1;
            }
        }
    }
    f[0][0]=1;//第零行，一个都不选，即状态为0的方案数为1
    for(int i=1;i<=18;i++){
        for(int j=0;j<=state[i];j++){
            for(int k=0;k<=state[i-1];k++){
                if(f[i-1][k]&&(j&k)==0&&(j&(j>>1))==0&&(j&(j<<1))==0){
                    f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][k])%MOD;
                }
            }
        }
    }
    ANS=(ANS*f[18][0])%MOD;
}
int main(){
    scanf("%lld",&N);
    for(LL i=1;i<=N;i++){
        if(vis[i]==false) calc(i);
    }
    printf("%lld",ANS);
    return 0;
}