守卫者的挑战

描述 Description

　　打开了黑魔法师Vani的大门，队员们在迷宫般的路上漫无目的地搜寻着关押applepi的监狱的所在地。突然，眼前一道亮光闪过。“我，Nizem，是黑魔法圣殿的守卫者。如果你能通过我的挑战，那么你可以带走黑魔法圣殿的地图……”瞬间，队员们被传送到了一个擂台上，最初身边有一个容量为K的包包。
擂台赛一共有N项挑战，各项挑战依次进行。第i项挑战有一个属性ai，如果ai>=0，表示这次挑战成功后可以再获得一个容量为ai的包包；如果ai=-1，则表示这次挑战成功后可以得到一个大小为1 的地图残片。地图残片必须装在包包里才能带出擂台，包包没有必要全部装满，但是队员们必须把 【获得的所有的】地图残片都带走（没有得到的不用考虑，只需要完成所有N项挑战后背包容量足够容纳地图残片即可），才能拼出完整的地图。并且他们至少要挑战成功L次才能离开擂台。
队员们一筹莫展之时，善良的守卫者Nizem帮忙预估出了每项挑战成功的概率，其中第i项挑战成功的概率为pi%。现在，请你帮忙预测一下，队员们能够带上他们获得的地图残片离开擂台的概率。

输入格式 InputFormat

　　第一行三个整数N,L,K。
第二行N个实数，第i个实数pi表示第i项挑战成功的百分比。
第三行N个整数，第i个整数ai表示第i项挑战的属性值.

输出格式 OutputFormat

　　一个整数，表示所求概率，四舍五入保留6 位小数。

样例输入 SampleInput [复制数据]

样例输入1
3 1 0
10 20 30
-1 -1 2
样例输入2
5 1 2
36 44 13 83 63
-1 2 -1 2 1

样例输出 SampleOutput [复制数据]

样例输出1
0.300000
样例输出2
0.980387

数据范围和注释 Hint

　　若第三项挑战成功，如果前两场中某场胜利，队员们就有空间来容纳得到的地图残片，如果挑战失败，根本就没有获得地图残片，不用考虑是否能装下；若第三项挑战失败，如果前两场有胜利，没有包来装地图残片，如果前两场都失败，不满足至少挑战成功L次的要求。因此所求概率就是第三场挑战获胜的概率。
对于 100% 的数据，保证0<=K<=2000，0<=N<=200，-1<=ai<=1000，0<=L<=N，0<=pi<=100。

题解

比较明显的动态规划。 F[i][j][k]表示经过前 i 项挑战，目前背包容量为 j，有 k 项挑战获得了
胜利的概率。 j>0 代表背包有 j 的剩余空间， j<0 代表目前有-j 的地图残片还未装入。 j 的取值
范围是-200~200，超出范围没有意义，直接与±200 取 Min/Max 即可。
转移方式只有两种：第 i 次挑战成功/失败.
时间复杂度 O(400*n^2)。

　　30分的暴力算法

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<fstream>
using namespace std;
int N,L,K;
int tmp;
int pre[2000];//pre[i]=1 表示第 i次获胜 pre[i]=2表示失败 
double ans;
inline void ser(int,int,int,int);//进行到了第几项 ,赢了几次，有几块碎片，背包总容量 
inline double calc();
struct node{
    int a;
    double p;
}wupin[2000];
inline int cmp(const node &b,const node &c){
    if(b.a>c.a) return 1;
    return 0;
}
int main(){
//    freopen("guard.in","r",stdin);
//    freopen("guard.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d",&N,&L,&K);
    for(int i=1;i<=N;i++){
        scanf("%d",&tmp);
        wupin[i].p=(double)(tmp)/(double)(100);
    }
    for(int i=1;i<=N;i++){
        scanf("%d",&wupin[i].a);
    }
    sort(wupin+1,wupin+N+1,cmp);
    ser(1,0,0,K);
    printf("%.6f",ans);
    return 0;
}

inline void ser(int now,int tot,int sum,int v){
    int fro=1;
    if(wupin[now].a==-1&&v<=sum) fro++;//当前是碎片，但是再加碎片肯定装不进去 
    for(int i=fro;i<=2;i++){
        pre[now]=i;
        if(now==N){
            if(i==1){
                if(wupin[now].a==-1) sum++;
                else v+=wupin[now].a;
                tot++;
            }
            if(v>=sum&&tot>=L){//残片可以全部拿走 
                ans+=calc();
            }
            if(i==1){
                if(wupin[now].a==-1) sum--;
                else v-=wupin[now].a;
                tot--;
            }
        }
        else{
            if(i==1){
                if(wupin[now].a==-1) ser(now+1,tot+1,sum+1,v);
                else ser(now+1,tot+1,sum,v+wupin[now].a);
            }
            else ser(now+1,tot,sum,v);
        }
    }
}

inline double calc(){
    double temp=1.000000;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        if(pre[i]==1) temp*=wupin[i].p;
        else if(pre[i]==2) temp=temp*double((double)(1)-wupin[i].p);
    }
    return temp;
}

 

　　100分的dp算法

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<fstream>
using namespace std;
int N,L,K;
int tmp;
struct node{
    int a;
    double p;
}A[2000];
double f[201][201][401];//f[i][k][j]=e 表示前 i件物品，共赢 k次，当前要装入所有碎片时容量为 j时的概率 
double ans;
int main(){
//    freopen("guard.in","r",stdin);
//    freopen("guard.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d",&N,&L,&K);
    for(int i=1;i<=N;i++){
        scanf("%d",&tmp);
        A[i].p=(double)(tmp)/(double)(100);
    }
    for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%d",&A[i].a);
    if(K>=400){
         K=400;    
         f[0][0][K]=1;
    }
    else{
        f[0][0][200+K]=1;
    }
    
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int j=0;j<=i;j++){
            for(int v=1;v<=400;v++){
                f[i][j][v]=f[i-1][j][v]*(1-A[i].p);
                if(j==0) continue;//目前一场都没赢过
                //下面表示赢 
                if(A[i].a==-1) f[i][j][v]+=f[i-1][j-1][v+1]*A[i].p;
                else if(v-A[i].a>=0) f[i][j][v]+=f[i-1][j-1][v-A[i].a]*A[i].p;
            }
        }
    }
    for(int i=L;i<=N;i++)
        for(int j=200;j<=400;j++) ans+=f[N][i][j] ;
    printf("%.6f",ans);
    return 0;
}