[HAOI2007]反素数ant

1053: [HAOI2007]反素数ant

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Description

 

对于任何正整数x,其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。
如果某个正整数x满足:g(x)>g(i) 0<i<x,则称x为反质数。例如,整数1,2,4,6等都是反质数。
现在给定一个数N,你能求出不超过N的最大的反质数么?

Input

一个数N(1<=N<=2,000,000,000)。

Output

不超过N的最大的反质数。

Sample Input

1000

Sample Output

840

HINT

 

Source

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【题解】
首先,可以用组合数学证得,如果一个数n=a1x1×a2x2×……×akxk
那么,设函数ex-phi(n)表示n的约数的个数
可推导出ex-phi(n)=(x1+1)(x2+1)...(xk+1) ................(这只是个公式,我并不会证明)
上面的结论称为定理1
===========================================
通过计算可以得出当N在2000000000以内时,最多只有10个素因子
证明:2*3*5*7*11*13*17*19*23*29≈60e>20e
上面的结论称为定理2
===========================================
小素因子多一定比大素因子多要优秀
小素因子多那么总因子多,ex-phi(n)肯定比大素因子多的大。
上面的结论称为定理3
===========================================
然而推出这些神奇的结论后,我们发现——
    我们维护素因子从小到大数量的单调递减性即可。
 
代码不太好懂,,,,我加了不少注释
 1 #include<bits/stdc++.h> 
 2 using namespace std;
 3 long long prime[100]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37};
 4 long long ans,num,n;
 5 //num=目前约数最多的数中最小的数(语言能力有限...)  ans=目前约数最多的约数的个数 
 6 inline void dfs(int now,   long long product,   long long cs,   long long lastcs,    long long res)
 7 //           当前质数下标          当前乘积     当前数出现次数    上一个数出现次数         约数个数 
 8 {
 9     if(ans==res*(cs+1)&&product<num)//当前乘积的这个数是约数个数已经等于ans,且比num小 
10         num=product;// 更新答案 
11     if(res*(cs+1)>ans){//这个没的说,肯定更新啦 
12         ans=res*(cs+1);
13         num=product;
14     }
15     if(cs+1<=lastcs&&product*prime[now]<=n)//每个质数的指数保证单调不上升且不超过n 
16         dfs(now,product*prime[now],cs+1,lastcs,res);
17 
18     for(int i=now+1;i<=10;i++)//在数据范围内用到的质数不会超过10 
19         if(product*prime[i]<=n)//注意不能超过n 
20             dfs(i,product*prime[i],1,cs,res*(cs+1));
21 }
22 
23 inline void go()
24 {
25     dfs(1,1,0,100,1);
26     printf("%lld\n",num);
27 }
28 
29 int main()
30 {
31     scanf("%lld",&n);
32     go();
33     return 0;
34 }

 

posted @ 2015-07-30 00:37  CXCXCXC  阅读(488)  评论(0编辑  收藏  举报