[HAOI2007]反素数ant
1053: [HAOI2007]反素数ant
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Description
对于任何正整数x,其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。
如果某个正整数x满足:g(x)>g(i) 0<i<x,则称x为反质数。例如,整数1,2,4,6等都是反质数。
现在给定一个数N,你能求出不超过N的最大的反质数么?
Input
一个数N(1<=N<=2,000,000,000)。
Output
不超过N的最大的反质数。
Sample Input
1000
Sample Output
840
HINT
Source
【题解】
首先,可以用组合数学证得,如果一个数n=a1x1×a2x2×……×akxk
那么,设函数ex-phi(n)表示n的约数的个数
可推导出ex-phi(n)=(x1+1)(x2+1)...(xk+1) ................(这只是个公式,我并不会证明)
上面的结论称为定理1
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通过计算可以得出当N在2000000000以内时,最多只有10个素因子
证明:2*3*5*7*11*13*17*19*23*29≈60e>20e
上面的结论称为定理2
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小素因子多一定比大素因子多要优秀
小素因子多那么总因子多,ex-phi(n)肯定比大素因子多的大。
上面的结论称为定理3
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然而推出这些神奇的结论后,我们发现——
我们维护素因子从小到大数量的单调递减性即可。
代码不太好懂,,,,我加了不少注释
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 long long prime[100]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37}; 4 long long ans,num,n; 5 //num=目前约数最多的数中最小的数(语言能力有限...) ans=目前约数最多的约数的个数 6 inline void dfs(int now, long long product, long long cs, long long lastcs, long long res) 7 // 当前质数下标 当前乘积 当前数出现次数 上一个数出现次数 约数个数 8 { 9 if(ans==res*(cs+1)&&product<num)//当前乘积的这个数是约数个数已经等于ans,且比num小 10 num=product;// 更新答案 11 if(res*(cs+1)>ans){//这个没的说,肯定更新啦 12 ans=res*(cs+1); 13 num=product; 14 } 15 if(cs+1<=lastcs&&product*prime[now]<=n)//每个质数的指数保证单调不上升且不超过n 16 dfs(now,product*prime[now],cs+1,lastcs,res); 17 18 for(int i=now+1;i<=10;i++)//在数据范围内用到的质数不会超过10 19 if(product*prime[i]<=n)//注意不能超过n 20 dfs(i,product*prime[i],1,cs,res*(cs+1)); 21 } 22 23 inline void go() 24 { 25 dfs(1,1,0,100,1); 26 printf("%lld\n",num); 27 } 28 29 int main() 30 { 31 scanf("%lld",&n); 32 go(); 33 return 0; 34 }