[HNOI2008]越狱

1008: [HNOI2008]越狱

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Description

监狱有连续编号为1...N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱

Input

输入两个整数M，N.1<=M<=10^8,1<=N<=10^12

Output

可能越狱的状态数，模100003取余

Sample Input

2 3

Sample Output

6

HINT

6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

 

 　　此题属于一道组合数学问题，我一开始还以为是DP。。。。

　　所有的可能宗教信仰方案为：M^N，因为有N个监狱，每个监狱的犯人的宗教有M中选择

　　不能越狱（相邻两个房间的人的宗教信仰不同）的方案为：M*(M-1)^(N-1)，第一个监狱里的犯人可以有M个宗教选择，第二个监狱里的犯人可以有M-1中选择(保证和第一个监狱里的犯人不重复即可)，同理，第三个监狱的犯人只需和第二个监狱里的不一样，也是M-1个选择，，，，以此类推，共N个监狱，除第一个监狱有M个选择，其余N-1个监狱只有M-1中选择，所以M*(M-1)^(N-1)

　　于是最终的答案： [M^N-M*(M-1)^(N-1)]%100003

　　由于N,M都比较大，所以借助了快速幂(讲解：www.cnblogs.com/CXCXCXC/p/4641812.html)

　　中间有很多细节需要mod，处处mod，mod前想想对不对，还有((M^N)%mod-(M*(M-1)^(N-1))%mod)%mod有可能为负数，可以特判，若ans<0,ans+=mod 也可以((M^N)%mod+mod-(M*(M-1)^(N-1))%mod)%mod 即中间加个mod

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod=100003;
LL M,N;
LL ans;

LL poww(LL a,LL b){
    LL base=a;
    LL ans1=1;
    while(b!=0){
        if(b&1!=0){
            ans1=ans1*base;
            ans1=ans1%mod;
        }
        base=base*base;
        base=base%mod;
        b=b>>1;
    }
    return ans1%mod;
}
int main(){
    cin>>M>>N;
    ans=(poww(M,N)+mod-(M*poww(M-1,N-1))%mod)%mod;
    cout<<ans;
    return 0;
}