快速幂讲解
快速幂这个东西比较好理解，但实现起来到不老好办，记了几次老是忘，今天把它系统的总结一下防止忘记。
首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，快速幂能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：
假设我们要求a^b，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时
a11=a(2^0+2^1+2^3)
11的二进制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我们将a¹¹转化为算 a2^0*a2^1*a2^3，也就是a1*a2*a8
，看出来快的多了吧原来算11次，现在算三次，但是这三项貌似不好求的样子....不急，下面会有详细解释。
由于是二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具：&和>>
&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶，x&1==1为奇。
>>运算比较单纯,二进制去掉最后一位，不多说了，先放代码再解释。
1 int poww(int a, int b) { 2 int ans = 1, base = a; 3 while (b != 0) { 4 if (b & 1 != 0) 5 ans *= base; 6 base *= base; 7 b >>= 1; 8 } 9 return ans; 10 }
代码很短，死记也可行，但最好还是理解一下吧，其实也很好理解，以b==11为例，b=>1011,二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘，以便随时对ans做出贡献。
其中要理解base*=base这一步：因为 base*base==base2，下一步再乘，就是base2*base2==base4，然后同理 base4*base4=base8，由此可以做到base-->base2-->base4-->base8-->base16-->base32.......指数正是 2^i ，再看上面的例子，a¹¹= a1*a2*a8，这三项就可以完美解决了，快速幂就是这样。
顺便啰嗦一句，由于指数函数是爆炸增长的函数，所以很有可能会爆掉int的范围，根据题意选择 long long还是mod某个数自己看着办。
矩阵快速幂也是这个道理，下面放一个求斐波那契数列的矩阵快速幂模板
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<cmath> 5 #include<algorithm> 6 using namespace std; 7 const int mod = 10000; 8 const int maxn = 35; 9 int N; 10 struct Matrix { 11 int mat[maxn][maxn]; 12 int x, y; 13 Matrix() { 14 memset(mat, 0, sizeof(mat)); 15 for (int i = 1; i <= maxn - 5; i++) mat[i][i] = 1; 16 } 17 }; 18 inline void mat_mul(Matrix a, Matrix b, Matrix &c) { 19 memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat)); 20 c.x = a.x; c.y = b.y; 21 for (int i = 1; i <= c.x; i++) { 22 for (int j = 1; j <= c.y; j++) { 23 for (int k = 1; k <= a.y; k++) { 24 c.mat[i][j] += (a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % mod; 25 c.mat[i][j] %= mod; 26 } 27 } 28 } 29 return ; 30 } 31 inline void mat_pow(Matrix &a, int z) { 32 Matrix ans, base = a; 33 ans.x = a.x; ans.y = a.y; 34 while (z) { 35 if (z & 1 == 1) mat_mul(ans, base, ans); 36 mat_mul(base, base, base); 37 z >>= 1; 38 } 39 a = ans; 40 } 41 int main() { 42 while (cin >> N) { 43 switch (N) { 44 case -1: return 0; 45 case 0: cout << "0" << endl; continue; 46 case 1: cout << "1" << endl; continue; 47 case 2: cout << "1" << endl; continue; 48 } 49 Matrix A, B; 50 A.x = 2; A.y = 2; 51 A.mat[1][1] = 1; A.mat[1][2] = 1; 52 A.mat[2][1] = 1; A.mat[2][2] = 0; 53 B.x = 2; B.y = 1; 54 B.mat[1][1] = 1; B.mat[2][1] = 1; 55 mat_pow(A, N - 1); 56 mat_mul(A, B, B); 57 cout << B.mat[1][1] << endl; 58 } 59 return 0; 60 }
