后缀数组(SA)

后缀数组

· 前言

· 定义

后缀数组分为两个数组：
$s{a}_i$ 表示第 $i$ 大的后缀的第一个字符在原串中的位置。
$r{k}_i$ 表示第一个字符在原串中的位置为 $i$ 的后缀的排名。（两个相同的后缀排名相同）

易知：
$r{k}_{s{a}_i}$ 表示第 $i$ 名。
$s{a}_{r{k}_i}$ 表示 $i$ 这个位置。

· 算法流程

$O(nlo{g}^{2}n)$做法

我们考虑倍增，已知长度为 $x$ 的 $s{a}_i$ 和 $r{k}_i$ 推长度为 $2x$ 的 $s{a}_i^{\prime }$ 和 $r{k}_i^{\prime }$ 。
$s{a}_i^{\prime }$ 为

• 以前 $x$ 个字符为第一关键字。
  后 $x$ 个字符为第二关键字。

排序的结果。

理解即可

rpt(i,1,n)sa[i]=i;
//此时 sa 的值不是正确的意义但仍可以保证正确 
rpt(i,1,n)rk[i]=s[i];
//因为 rk 的值是正确的 
for(int w=1;w<n;w<<=1){
	//w 为上一组的字符串长度 
	sort(sa+1,sa+1+n,[&](int x,int y){
		return rk[x]==rk[y]?rk[x+w]<rk[y+w]:rk[x]<rk[y];
	});
	//排名离散化 
	int now=0;
	rpt(i,1,n){
		if(rk[sa[i]]!=rk[sa[i-1]]||rk[sa[i]+w]!=rk[sa[i-1]+w])now++;
		tmprk[sa[i]]=now;
		//不能直接修改 rk 
	}
	rpt(i,1,n)rk[i]=tmprk[i];
}

$O(nlogn)$做法

我们考虑到 $r{k}_i$ 的值域并不会超过 $n$ 。
所以我们把排序换成基数排序即可。

优化前

int v=0;
rpt(i,1,n)v=max(v,(int)s[i]);
// v 表示基数排序值域 
rpt(i,1,n)rk[i]=s[i];

rpt(i,0,v)t[i]=0;
rpt(i,1,n)t[rk[i]]++;
rpt(i,1,v)t[i]+=t[i-1];
rpt(i,1,n)sa[t[rk[i]]--]=i;
//此时 sa 的值需要表示正确的意义
for(int w=1;w<n;w<<=1){
	//w 为上一组的字符串长度 
	rpt(i,0,v)t[i]=0;
	rpt(i,1,n)t[rk[i+w]]++;
    //以 rk[i+w] 为关键字
	rpt(i,1,v)t[i]+=t[i-1];
	rpt(i,1,n)sa[t[rk[i+w]]--]=i;
	//第二关键字排序
	rpt(i,0,v)t[i]=0;
	rpt(i,1,n)id[i]=sa[i];
	rpt(i,1,n)t[rk[id[i]]]++;
    //以 rk[i] 为关键字
	rpt(i,1,v)t[i]+=t[i-1];
	tpr(i,n,1)sa[t[rk[id[i]]]--]=id[i];
    //倒序枚举排名以保证相同大小按原顺序排序
    //sa 会被改变所以用 id 存一下
	//第一关键字排序
	//排名离散化 
	int now=0;
	rpt(i,1,n){
		if(rk[sa[i]]!=rk[sa[i-1]]||rk[sa[i]+w]!=rk[sa[i-1]+w])now++;
		tmprk[sa[i]]=now;
		//不能直接修改 rk 
	}
	v=now;
	rpt(i,1,n)rk[i]=tmprk[i];
}

其实我们会发现上面代码有很多优化空间。

• $1.$ 在上一层时 $r{k}_i$ 已经有序，所以不需要按第二关键字排序，只需考虑第二关键字为空的情况。
  $2.$ 当 $r{k}_i$ 已经互不相同时，说明已经比出大小，直接结束即可。

优化后

for(int w=1;w<n;w<<=1){
	//w 为上一组的字符串长度 
	int top=0;
	rpt(i,n-w+1,n)id[++top]=i;
	rpt(i,1,n)if(sa[i]-w>0)id[++top]=sa[i]-w;
	rpt(i,1,n)sa[i]=id[i];
	//第二关键字其实只需要考虑空串
	//其他非空集已经有序 
	rpt(i,0,v)t[i]=0;
	rpt(i,1,n)id[i]=sa[i];
	rpt(i,1,n)t[rk[id[i]]]++;
	rpt(i,1,v)t[i]+=t[i-1];
	tpr(i,n,1)sa[t[rk[id[i]]]--]=id[i];
	//第一关键字排序
	//排名离散化 
	int now=0;
	rpt(i,1,n){
		if(rk[sa[i]]!=rk[sa[i-1]]||rk[sa[i]+w]!=rk[sa[i-1]+w])now++;
		tmprk[sa[i]]=now;
		//不能直接修改 rk 
	}
	v=now;
	rpt(i,1,n)rk[i]=tmprk[i];
	if(v==n)break;
}

模板

$height$ 数组

$height$ 数组（以下称 $h{e}_i$ ） 是后缀数组解决任意两个后缀的最长前缀的手段。
定义 $h{e}_i$ 为 $s{a}_i$ 和 $s{a}_{i-1}$ 最长公共前缀长度。

$h{e}_i$ 的求法

重要性质：
$h{e}_{r{k}_i}\ge h{e}_{r{k}_{i-1}}-1$
证明：

$h{e}_{r{k}_{i-1}}=(s{a}_{r{k}_{i-1}},s{a}_{r{k}_{i-1}-1})$ 。
$h{e}_{r{k}_i}=(s{a}_{r{k}_i},s{a}_{r{k}_i-1})$ 。
在排好序的后缀中：
设 $s{a}_{r{k}_{i-1}}=aAD$ , $s{a}_{r{k}_{i-1}-1}=aAB$ 。
则有 $s{a}_{r{k}_i}=AD$ 。
因为后缀 $AD$ 必然存在。
所以 $s{a}_{r{k}_i-1}=AC$ 且满足 $D>C\ge B$ 。
即至多会减少 $a$ 一个字符。