复习全书 + 660

高等数学

第一章 函数 连续 极限

第一节 函数

1.函数概念

函数定义：一个 \(x\) 只能对应一个 \(y\)

基本要素：定义域 + 对应法则
同一函数 = 两要素相同

常见定义域：

f(x)	定义域	值域	图像
\(\frac1x\)	\(x>0\)
\(\sqrt[2n]{x}\)	\(x\geq0\)
\(\log_a{x}\)	\(x>0\)
\(tanx\)	\(x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}\)
\(secx\)	\(x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}\)
\(cotx\)	\(x\neq k\pi\)
\(cscx\)	\(x\neq k\pi\)
\(arcsinx\)	\([-1,1]\)	\([-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2]\)
\(arccosx\)	\([-1,1]\)	\([0,\pi]\)
\(arctanx\)	\(R\)	\((-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2)\)
\(arccotx\)	\(R\)	\((0, \pi)\)

2.分段函数

是一个函数，不是多个

3.复合函数

代入，画图

4.反函数

交换 \(x\) 和 \(y\)（定义域和值域交换）

单调函数一定有反函数，有反函数的函数不一定单调

\(f^{-1}[f(x)]=x,f[f^{-1}(x)]=x\)

5.初等函数

基本初等函数：幂指对三角反三角

初等函数：常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合构成的可用一个式子表示的函数

注：分段函数不是初等函数

三角函数：

三角函数常见等式

\(sec^2x=1+tan^2x\)

\(csc^2x=1+cot^2x\)

\(arcsinx+arccosx=\frac{\pi}2,x\in[-1, 1]\)

\(arctannx+arccotx=\frac{\pi}2\)

6.隐函数

7.参数方程

8.幂指函数

9.函数性质

单调性

奇偶性

定义域必须关于原点对称

周期性

若 \(f(x)\) 的周期为 \(T\)，则 \(f(ax+b)\) 的周期为 \(\frac{T}{|a|}\)

若 \(f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)\) 的周期分别为 \(T_1, T_2, ..., T_n\)，则 \(f_1(x)+f_2(x)+...+f_n(x)\) 的周期为 \(lcm(T_1, T_2, ...T_n)\)

数列极限的值

有界性

\(\forall M>0, |f(x)|\leq M\)

判定：

1. 定义：放缩

2. 均值不等式：

   \[a+b\geq2\sqrt{ab}\\ ab\leq(\frac{a+b}2)^2\\ a^2+b^2\geq2ab\\ ab\leq\frac{a^2+b^2}2\\ 补充: |\frac{x\cdot1}{x^2+1}|\leq|\frac{\frac{x^2+1}2}{x^2+1}|=\frac12 \]

3. 借助常见有界函数：\(\sin x,sgn x,\arcsin x\)

4. 画图：

   例 \(f(x)=x\sin x\) 无界，取 \(x=2n\pi+\frac{\pi}2\)，\(f(x)=2n\pi+\frac{\pi}2\)，\(n\to\infty,f(x)\to\infty\)

   

判定：

1. 极限：\(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 存在，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的邻域内有界
2. 闭区间上的连续函数一定有界
3. \((a,b)\) 有界 \(\Leftrightarrow\) \(\lim_{x\to a^+}f(x)\) 存在且 \(\lim_{x\to b^-}f(x)\) 存在
4. \(f'(x)\) 在 \((a,b)\) 内有界 \(\Rightarrow\) \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内有界

错题

复习全书例题

一刷4.25：9，11，12

二刷5.5： 9，11，12

第二节 极限

一、极限概念

1.数列极限

\(\forall\epsilon>0,\exist N(N\in Z^+),当 n>N 时，恒有|x_n-a|<\epsilon成立，则\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a\)

\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a\) 几何意义：第 \(N\) 项以后的点都落在区间 \((a-\epsilon,a+ \epsilon)\) 内，只有有限个（\(\leq N\)）个在这区间外

数列极限的值与前有限项无关

数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\Leftrightarrow\) 数列 数列 \(\{x_n\}\) 的任一子数列收敛于 \(a\)

2.函数极限

\(\forall\epsilon>0,\exist X>0,当 |x|>X 时，恒有|f(x)-A|<\epsilon成立，则\lim_{n\rightarrow\infty}f(x)=A\)

注意函数极限的 \(x\rightarrow \infty\) 指的是 \(|x|\rightarrow\infty\)；而数列极限的 \(x\rightarrow \infty\) 是指 \(x\rightarrow +\infty\)

\(\forall\epsilon>0,\exist \delta>0,当 0<|x-x_0|<\delta 时，恒有|f(x)-A|<\epsilon成立，则\lim_{n\rightarrow x_0}f(x)=A\)

\(f(x)\) 在 \(x_0\) 处极限值与该点有没有定义无关，与 \(x=x_0\) 的去心邻域函数值有关

注意区分左右极限的几种函数：分段函数，绝对值函数，\(e^{\infty}\)，\(arctan\infty\)

易错：小心 \(e^{cx}\) 就算 \(x\rightarrow +\infty\) 也别忽略 \(c\)

3.极限性质

有界性：（数列）收敛一定有界，（函数）极限存在，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 某去心邻域有界
数列有界不一定收敛

保号性：摘帽法戴帽法 参考记忆

戴帽法：函数推极限（戴上极限的帽子），戴 = D = 一个等号 = \(\rightarrow\lim f(x)\geq0\)

摘帽法：极限推函数（摘掉极限的帽子），摘 = Z（> 和 < 上下拼在一起）= 两个不等号（条件必须是不等号）\(\lim f(x)>0\rightarrow f(x)>0\)（注：这里写成\(f(x)\geq0\) 也是可以的因为严格不等包含不严格不等）

其他性质：

\[\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a\rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}|x_n|=|a| \]

4.函数极限与数列极限的关系

二、无穷小

无穷小量：极限是0的变量

有限个无穷小的和/积 = 无穷小

无穷小 * 有界 = 无穷小

阶：趋向0的速度，越高越快

常见等价无穷小替换

等价无穷小 = 极限比值为1

一定要注意前提是 \(x\rightarrow 0\)	等价于
\((1+ax)^b-1\)	\(abx\)
\(x-sinx\)	\(\frac16x^3\)
\(x-arcsinx\)	\(-\frac16x^3\)
\(x-arctanx\)	\(\frac13x^3\)
\(x-tanx\)	\(-\frac13x^3\)
\(x-\ln(1+x)\)	\(\frac12x^2\)

极限与无穷小的关系

\[\lim f(x)=A\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x), \,\,\,\,\lim\alpha(x)=0 \]

注意这里的 \(A\) 可以等于 \(0\)

无穷大量：极限是 \(\infty\) 的变量

无穷大 * 无穷大 = 无穷大

无穷大 + 有界 = 无穷大

无穷大 * 非零常数 = 无穷大

加减都不确定！！！

常用无穷大比较

\[x\rightarrow +\infty时，\ln^{\alpha}x \ll x^{\beta}\ll a^x,\,\,\,(\alpha,\beta>0,a>1)\\ x\rightarrow \infty时，\ln^{\alpha}n \ll n^{\beta}\ll a^n\ll n!\ll n^n,\,\,\,(\alpha,\beta>0,a>1)\\ \]

无穷大与无界

无穷大：$\forall M>0,\exist,N>0, $ 当 \(n>N\) 时，恒有 \(|x_n|>M\)

无界：$\forall M>0,\exist,N>0, $ 恒有 \(|x_n|>M\)

\[无穷大\rightarrow无界\\ 无界\nrightarrow 无穷大 \]

三、极限计算

\(\lim\frac{f(x)}{g(x)}\) 存在， \(\lim g(x)=0\Rightarrow\lim f(x)=0\)

\(\lim\frac{f(x)}{g(x)}=A\neq 0\) ， \(\lim f(x)=0\Rightarrow\lim g(x)=0\)

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1,\,\,\, \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]a=1\,\,(a>0),\,\,\, \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac1n)^n=e\\ 易错: \lim_{n\rightarrow-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2}}=-1 \,\,\,\,(千万小心开根号的符号)\\ 1^\infty: \lim\limits_{\substack{\lim\alpha(x) = 0\\ \lim\beta(x) = \infty}}[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}=e^{\lim \alpha(x)\beta(x)} \]

和差关系在一定条件下可等价替换

\[\lim\frac{f_1(x)}{g_1(x)}=A\neq1\Rightarrow\lim[f_1(x)-g_1(x)]=\lim[f_2(x)-g_2(x)]\\ \lim\frac{f_1(x)}{g_1(x)}=A\neq-1\Rightarrow\lim[f_1(x)+g_1(x)]=\lim[f_2(x)+g_2(x)]\\ \]

洛必达

如果 \(\frac00\) 或 \(\frac\infty\infty\) 含非零因子可以先求出来（但是别的情况下比如\(x^\infty\)的非零因子不能直接先算出来）

小技巧：求极限的题算出来如果是\(0,\infty\)的话可以先怀疑一下是不是自己算错了

夹逼

掌握常见放缩

结论：

\[\lim_{x\to \infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...a_m^n}=max\{a_i\}, \,\,(a_i>0) \]

单调有界准则

单调有界数列必有极限

步骤：

1. 证明数列单调有界（数学归纳法）
2. 令 \(\lim_{n\to\infty}=a\)，解方程

泰勒公式

记忆技巧

首先记住一个：

\[\frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+...+x^n+o(x^n) \]

然后就有了：

\[\frac1{1+x}=\frac1{1-(-x)}=1-x+x^2-x^3+...+x^n+o(x^n)\\ \ln(1+x)=\int\frac1{1+x}dx=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac14x^4+...+o(x^n)\\ \ln(1-x)=-\int\frac1{1-x}dx=-(x+\frac12x^2+\frac13x^3+\frac14x^4+...+o(x^n))\\ \frac1{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+...+o(x^{2n})\\ \arctan x=\int\frac1{1+x^2}dx=x-\frac13x^3+\frac15x^5-\frac17x^7+...+o(x^n)\\ \tan x=x+\frac13x^3+O(x^3)（第二项符号反过来）\\ \]

接着及一些三角函数：

\[\sin x=\frac{x^1}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\\ \cos x=(\sin x)'=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...\\ \arcsin x=\frac{x^1}{1!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\\ \]

然后再记两个：

\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\\ (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n) \]

易错：比值抓大头前先看看是不是趋于无穷

错题

复习全书例题

一刷4.26： 2，7，8，12，13，20，22，23，28，30，32，33，43，53，55，56，58，65，66，68，69，70，71，72，73，75，79

二刷5.5： 12，13，31，66

第三节 连续

连续：有定义，左 = 右 = 值

没有定义就不是连续点

出现：\(x^a\)（\(x\to0\)），讨论 \(0\)

出现：\(x^{n}\)（\(n\to+\infty\)），讨论 \(-1,1\) （重点掌握例题26）

间断点

找无定义点（找全来）

第一类：可去（左=右），跳跃（左≠右）

第二类：无穷，振荡

注意最后再检验一下，不要误判了连续点

闭区间连续函数性质

条件都是 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续

最值定理

有界性定理

介值定理：

1. 写成 \(f(\epsilon)=\) 的形式，
2. 把等号右边所有的 \(f(x)\)，都夹在 \([m,M]\) 中，即 \(m\leq f(x)\leq M\)
3. 最后一定会化成 \(m\leq f(\epsilon)\leq M\) 的形式

零点定理：\(f(a)f(b)<0\)，则 \(\exist\,\epsilon\in(a,b)\)，使 \(f(\epsilon)=0\)

易错： \(f(a)f(b)<=0\) 使要对等于0的情况单独讨论

错题

复习全书例题

一刷5.4： 4，6，18，19，20，22，24，25，26，28，29，30，32，33

二刷5.5： 26

章末总结

洛必达法则的使用条件是什么？ - 知乎用户3yx72Z的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/58048076/answer/155509971

错题

660填空

一刷5.5： 7，8，9，12，15，25

二刷5.6： 9，12

660选择

一刷5.5： 122，124，126，139，143

二刷5.6： 0

第二章 一元微分学

第一节 导数与微分的概念

1. 导数概念

\[f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \]

分断点处只能用导数定义求，注意求的时候先写出 \(f(x_0)\)，防止眼花带错式子

\(x_0\) 处可导：左右导数存在且相等

区间 \([a,b]\) 可导：\(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内可导，\(f'_+(a)\) 存在， \(f'_{-}(b)\) 存在

判断可导可用的表达式：

1. 上下同阶
2. \(0^+,0^-\) 都能趋向
3. 分子是 \(f(动)-f(定)\)

例：

\[\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h^3)}{h-\sin h}\,\,\,\,(√, 因为h-\sin h等价于\frac16h^3)\\ \lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h^2)}{1-\cos h}\,\,\,\,(×, 因为h^2\to0^+,不能趋向0^-)\\ \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}\,\,\,\,(×, 因为这是两动，不存在+不存在也可能=存在)\\ \]

2. 导数的几何意义

切线斜率：\(f'(x_0)\)，法线斜率：\(-\frac1{f'(x_0)}\)

如果 \(f'(x_0)=0\)，法线为 \(x=x_0\)

可导一定有切线，有切线不一定可导

3. 微分

\(\Delta x\to0:\)

原函数纵坐标的增量：\(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\) 线性主部：\(A\Delta x\)

切线上纵坐标的增量：\(dy=A\Delta x=f'(x_0)\Delta x=f'(x_0)dx\) （可微 = 可导）

二者关系：\(\Delta y=dy+o(\Delta x)\)

4. 连续可导可微的关系

可导 = 可微

可导一定连续，连续不一定可导

第二节 导数与微分的计算

1. 导数计算

先化简再求导！难算的尝试用定义！幂指函数/多乘除/开方等两边取对数求！

可能会遗忘的几个式子（反三角的尝试用反函数法自己推一下）：

\[(a^x)'=a^x\ln a\\ (\log_a x)'=\frac1{x\ln a}\\ (\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x)'=\frac1{{1+x^2}}\\ (\textrm{arccot}\,x)'=-\frac1{{1+x^2}}\\ \]

反函数：\(\phi'(y)=\frac1{f'(x)}\)

隐函数：\(\frac{dy}{dx}=-\frac{F'_x}{F'_y}\)

参数方程：\(\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}\)

可到的偶函数导数是奇函数，可导的奇函数导数是偶函数，可到的周期函数求导后周期不变

2. 高阶导数

还是先拆，把复杂化为简单再求（比如分母裂项,有理函数待定系数法分解分母），复合变为非复合

\[[u(x)v(x)]^{(n)}=\sum_{i=0}^nC_n^iu^{(n-i)}(x)v^{(i)}(x) \]

常用：

\[(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}{2}), (\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{n\pi}{2}), \]

参数方程二阶导（一定不要忘了除 x）：

\[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{[\frac{y'(t)}{x'(t)}]'}{x'(t)} \]

3. 微分计算

\(dy=f'(x)dx\) 很容易漏掉 \(dx\) ，千万不能忘写！！！

第三节 中值定理、不等式与零点问题

1. 中值定理

通用解法

先化成通用形式：\(f'(x)+p(x)f(x)=Q(x)\)

构造函数如下：

\[F(x)=f(x)e^{\int p(x)dx}-\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx \]

然后利用罗尔定理解

原理（微分方程通解）：

\[f(x)=e^{-\int p(x)dx}[\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx+c]\\ f(x)e^{\int p(x)dx}-\int Q(x)e^{\int p(x)dx}=c \]

费马

以下四个的条件都是闭连开导：

罗尔：\(f(a)=f(b)\to f'(\epsilon)=0\)

拉格朗日：\(f(b)-f(a)=f'(\epsilon)(b-a)\)

柯西：

\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\epsilon)}{g'(\epsilon)} \]

泰勒：

\[f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\\ 拉格朗日余项:R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\epsilon)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\,\,(\epsilon介于x_0和x之间)\,\,\,\,\,\|\,\,\,\,\,\,\, 配亚诺余项:o(x-x_0)^n\\ \]

（\(x0,x\) 是区间内任意两点）

2. 不等式

单调性

最值

拉格朗日：出现 \(f(b)-f(a)>A(b-a)\) 这样的时候用

泰勒：出现二阶导的时候用，展开到二阶

\[f(x)=f(x_0)+\frac1{1!}f'(x_0)(x-x_0)+\frac1{2!}f''(\epsilon)(x-x_0)^2 \]

3. 零点问题

零点定理

罗尔定理推论：低推高，至少；高推低，至多；次数++，零点--

1. \(f(x)\) 有 \(k\) 个零点，则 \(f'(x)\) 至少有 \((k-1)\) 个零点，...，\(f^{(k-1)}(x)\) 至少有 \(1\) 个零点

2. \(f^{(n)}(x)\) 没有零点，则 \(f^{(n-1)}(x)\) 至多有 \(1\) 个零点，\(f^{(n-2)}(x)\) 至多有 \(2\) 个零点，...

有界问题

有限区间：\(f'(x)\) 在 \((a,b)\) 上有界，则\(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上有界；

有限区间：\(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上无界，则\(f'(x)\) 在 \((a,b)\) 上无界；

无限区间不能推

第四节 导数应用

1. 极值

驻点： \(f'=0\) 的点

可疑极值点：\(f'=0\) 的点和 \(f'\) 不存在的点（通常是分断点）

第一充分：两侧符号异号

第二充分：\(f''<0\) 极大，\(f''>0\) 极小，\(f''=0\) 无法判断

2. 最值

把驻点和端点都拿出来比较

3. 凹凸性

凹开口朝上，凸开口朝下

可疑拐点：\(f''=0\) 的点和 \(f''\) 不存在的点（通常是分断点）

第一充分：两侧符号异号

第二充分：\(f'''\neq0\) 是拐点，\(f'''=0\) 无法判断

4. 渐近线

\[水平:\lim_{x\to\infty}f(x)=A\,\,\,\,\,\|\,\,\,\,\,垂直:\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty\\ 斜f(x)=ax+b:a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\neq0, b=\lim_{x\to\infty}[f(x)-ax]\\ \]

5. 曲率

弧微分：\(ds=\sqrt{1+y'^2}dx\)

曲率：

\[K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac32}} \]

曲率半径：\(\rho =\frac1K\)

曲率圆性质：导数，切线，凹凸性相同

章末总结

方程根问题

进阶题19

方程根个数 = 零点定理（至少）+ 单调性（至多）

1. 求单调区间

2. 每个单调区间上用零点定理

均值不等式法解不等式

660【45】

\(x^2+\frac3x=x^2+\frac3{2x}+\frac3{2x}\geq3\sqrt[3]{x^2\frac3{2x}\frac{3}{2x}}=3\sqrt[3]{\frac94}\)

核心就是：凑！注意拆的系数要一样才能保证能取到等号

无界与无穷大

无界：至少有一个趋向无穷

无穷大：全部趋向无穷大

导数存在与极限互推

\(f'(x_0)\) 存在与 \(\lim_{x\to x_0}f'(x_0)\) 存在：若没有其他条件二者不可互推

\(\lim_{x\to x_0}f'(x_0)\) 存在 + \(f(x)\) 在 \(x_0\) 连续 \(\to f'(x_0)\) 存在，且 \(f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}f'(x_0)\)

导数与导数极限，存在就相等

导数与单调性相关

可导函数 \(f(x)\) 单增（减） \(\Leftrightarrow\,\,f'(x)\geq0(\leq0)\)，且在任意小区间上 \(f'(x)\) 不恒等于0

注意这里是带了等号的

极值点相关

可导的极值点一定是驻点

可导函数的极值点和拐点不能共存（即极值点一定不是拐点，拐点一定不是极值点）

不可导时，某点既有可能是极值点也有可能是拐点

错因总结

660

27 忽视了可导一定连续

28 看错题目！问的是导数连续

29 偶导变奇

33 又看错，是二阶导

39 不会，类似参数方程的做法

41 没代入最值，漏了一个条件

42 极值点的规范表达 \(x = c\)

43 无定义点要挖空

45 不会，参数分离法（求导）or 均值不等式（凑）

46 有绝对值最小值为0啊！！

47 不会， 取特殊值/感性理解：非增非减/保号性+拉格朗日+放缩/扩展洛必达

48 注意取极限的时候左右极限都要考虑，特别是开根号的时候不能忘了取绝对值！！！

145 无界与无穷大；第一个就是有一个趋向无穷

147 算错，看错字母

152 算对了，写上去的时候看错了！！啊啊我是傻子

153 几何法/代数法：保号性

154 举反例：符号函数

157 拉格朗日中值定理 / 构造常见函数

161 不在分段点可以直接导，取左右极限这样 / 画图

162 单调性与导数关系，极值点与拐点关系

163 因果关系不对

173 算错，写好步骤！！

第三章 积分

区分不定积分和定积分

不定积分本质是和式极限，属于微分学，对应的是原函数；

定积分本质是积分学

定积分存在性

一定可积

1. 闭区间连续
2. 闭区间单调
3. 闭区间有界且只有限个间断点

一定不可积

无界

原函数存在性

一定存在原函数

闭区间连续（闭区间连续函数一定有界）

一定不存在原函数

1. 有第一类间断点
2. 有无穷间断点

如果上面结论没法判断有没有原函数：

法一：直接积来算

法二：（考场思维）如果无法判断有，也无法判断没有，那么一定有

奇偶性

偶导奇，奇导偶；奇积偶，偶积仅一奇（过原点的那个）

变限积分

1. 若 \(f(x)\) 可积，则 \(\int_a^xf(t)dt\) 存在且连续（变限积分存在就连续）

2. 若 \(f(x)\) 连续，则 \(\int_a^xf(t)dt\) 可导，且为 \(f(x)\) 的原函数

3. 若 \(f(x)\) 有一个可去间断点 \(x=x_0\)（其余点均连续），则 \(\int_a^xf(t)dt\) 可导，但求导以后不是 \(f(x)\)，而是将 \(f(x)\) 的可去间断点修复过后的 \(h(x)\)。因此 \(f(x)\) 没有原函数

4. 若 \(f(x)\) 有一个跳跃间断点 \(x=x_0\)（其余点均连续），则 \(\int_a^xf(t)dt\) 在 \(x=x_0\) 不可导（跳跃间断点左右导数不相同）

5. 若 \(f(x)\) 为奇函数，则 \(\int_a^xf(t)dt\) 为偶函数；

   若 \(f(x)\) 为偶函数，则 \(\int_0^xf(t)dt\) 为奇函数（注意下标）；

6. 若 \(f(x)\) 以 \(T\) 为周期，则 \(f'(x)\) 也以 \(T\) 为周期，但 \(\int_a^xf(t)dt\) 以 \(T\) 为周期的充要条件是 \(\int_0^T f(x)dx=0\)

震荡

无穷 * 震荡 = 无界震荡

注意震荡也分有界/无界：

\(\lim_{x\to0}\frac1xcos\frac{1}{x^2}\)：无界震荡

\(\lim_{x\to0}\sin\frac1x\)：有界震荡

积分比大小

积分比大小选择题方法

单调性

不等式

区间再现

弦切定理

弦 \(\leq f(x)\leq\) 切线

常见：\(e^x\geq x+1, x-1\geq\ln x\)

\[\frac2\pi x<\sin x\leq x,x\in(0,\frac\pi2)\\ x<\tan x< \frac4\pi x,x\in(0,\frac\pi4)\\ \]

伸缩变换

一个函数由A，B两部分相乘

A：定，在给定区间正负面积相同（比如三角函数）

B：动，在给定区间正负面积不同

琴生不等式

\[f''(x)\leq0\Rightarrow\frac{\int_a^bf(g(x))dx}{b-a}\leq f(\frac{\int_a^b g(x)dx}{b-a}) \]

证明：泰勒展开然后不等式

定积分定义求极限

根据660第56题总结的一个小结论：

\[\sum_{k=1}^n k^a \sim \frac{n^{a+1}}{a+1}(a>-1)\\ 推导:\sum_{k=1}^n k^a=n^{a+1}\cdot\frac1n\sum_{k=1}^n(\frac kn)^a\sim n^{a+1}\int_0^1x^adx=\frac{n^{a+1}}{a+1} \]

积分应用

各种常见曲线的记忆

物理应用

弧长公式

质心公式

压强结论

反常积分审敛法

常见：

\[\int_a^{+\infty}\frac{\text{d}x}{x^p}= \begin{cases} 发散 & p \leq 1 \\ \frac{a^{1-p}}{p-1} & p > 1 \end{cases},~~ \int_a^{b}\frac{\text{d}x}{(x-a)^q}= \begin{cases} \frac{(b-a)^{1-q}}{1-q} & 0<q<1 \\ 发散 & q \geq 1 \end{cases} \]

口诀：大爱大，小爱小，1狗都嫌

\[\int_a^{+\infty}\frac{\text{d}x}{x^p\ln^qx}(a>1) \begin{cases} 收敛 & p > 1 \\ 收敛 & p = 1,q>1 \\ 发散 & p = 1,q\leq1 \\ 发散 & p < 1 \\ \end{cases} \]

口诀：老大强则强，老大一般小弟撑场，老大寄了就没救

\[\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}e^{-x}x^{s-1}\text{d}x(s>0)~收敛 \]

解题步骤

1. 找瑕点
2. 能否直接算
3. 是否分两段
4. 找等价关系（利用等价无穷小凑常见）
5. 判别法

瑕点处等价无穷小替换，两边都是瑕点要拆开，比较法

反常积分敛散性定义

\(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上连续，若反常积分 \(\int_{-\infty}^0f(x)\text{d}x\) 和 \(\int_0^{+\infty}f(x)\text{d}x\) 均收敛，则 \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\text{d}x\) 收敛，且 \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\text{d}x=\int_{-\infty}^0f(x)\text{d}x+\int_0^{+\infty}f(x)\text{d}x\)，否则 \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\text{d}x\) 发散

负无穷到正无穷，只要有一个发散就发散

计算技巧

分部积分相关

凑常数：分部积分前，在 d 后面加减一个恰当的常数使得分部积分以后计算出的极限是收敛的。

\[\int_0^{\frac\pi2}\sin x\ln\sin x~\text{d}x=-\int_0^{\frac\pi2}\ln\sin x~\text{d}(\cos x-1) \]

小技巧：有时候换元之后不一定要把 \(dt\) 先解出来，对于比较复杂的可以分步积分

正余弦高次组合计算

例：计算 \(I_1=\int \cos^4x\text{d}x，I_2=\int \sin^4x\text{d}x\)

先算 \(I_1+I_2,I_1-I_2\) 可以简便计算

指数函数定积分结论

\[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\text{d}x=\sqrt\pi \]

推导：

\[记A=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\text{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}\text{d}y>0\\ A^2=\int_{-\infty}^{+\infty}\text{d}x \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2-y^2}\text{d}y =\int_{0}^{2\pi}\text{d}\theta \int_{0}^{+\infty} \rho e^{-\rho^2}\text{d}\rho\\ =2\pi\cdot(-\frac12) \int_{0}^{+\infty} e^{-\rho^2}\text{d}(-\rho^2)= -\pi e^{-\rho^2}\Bigg|_{0}^{+\infty}=\pi \]

变限积分周期结论

\(f(x)\) 是 \(R\) 上周期为 \(T\) 的连续函数，则

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^xf(t)\text{d}t}x=\frac{\int_0^Tf(t)\text{d}t}T \]

证明：

\[记nT\leq x<(n+1)T\Leftrightarrow \frac1{(n+1)T}<\frac1x\leq\frac1{nT}\\ \]

1. 若 \(f(x)\geq0\) ,则

\[\\\int_0^{nT}f(x)\text{d}x\leq\int_0^xf(t)\text{d}t<\int_0^{(n+1)T}f(x)\text{d}x\\ \frac{\int_0^{nT}f(x)\text{d}x}{(n+1)T}<\frac{\int_0^xf(t)\text{d}t}x<\frac{\int_0^{(n+1)T}f(x)\text{d}x}{nT}\\ \frac{n\int_0^{T}f(x)\text{d}x}{(n+1)T}<\frac{\int_0^xf(t)\text{d}t}x<\frac{(n+1)\int_0^{T}f(x)\text{d}x}{nT}\\ 根据夹逼准则，\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^xf(t)\text{d}t}x=\frac{\int_0^Tf(t)\text{d}t}T \]

2. 若 \(f(x)\) 不是非负，由于 \(f(x)\) 连续，且周期为 \(T\)，则 \(f(x)\) 一定有界。
   设 \(m\leq f(x)\leq M\)，设 \(g(x)=f(x)-m\geq0\)，\(g(x)\) 连续，且周期为 \(T,g(x\geq0)\)，则

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^xf(t)\text{d}t}x= \lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^x[g(x)+m]\text{d}x}x\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^xg(x)\text{d}t}x+m\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^Tg(x)\text{d}x}T+\frac{\int_0^Tm\text{d}x}T\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^T[g(x)+m]\text{d}x}T =\frac{\int_0^Tf(x)\text{d}x}T \]

【引理】 \(f(x)\) 是 \(R\) 上周期为 \(T\) 的连续函数，则 \(\int_0^xf(t)\text{d}t=kx+h(x)\)，\(h(x)\) 是 \(R\) 上以 \(T\) 为周期的函数

证明：

\[h(x+T)-h(x)=\int_0^{x+T}f(t)\text{d}t-k(x+T)-\int_0^xf(t)\text{d}t+kx\\ =\int_x^{x+T}f(t)\text{d}t-kT=\int_0^Tf(x)\text{d}x-kT=0\Rightarrow k=\frac1T\int_0^Tf(x)\text{d}x\\ h(x)=\int_0^xf(t)\text{d}t-\frac xT\int_0^Tf(t)dt 以 T为周期 \]

易错点

拆瑕点

注意一定要在无定义点拆开！！

\[例:设f(x)=\frac{(x+1)^2(x-1)}{x^3(x-2)},计算I=\int_{-1}^3\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}dx \]

注意 \(0,2\) 是瑕点，要拆开，最后答案是 \(\arctan\frac{32}{27}-2\pi\)

积分正负性

特别易错：

设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 连续， \(f(x)\geq0\)，不恒为 \(0\)，则 \(\int_a^bf(x)\text{d}x>0\)

注意一定要有连续这个条件！！！

证明：

\[\exist~ x_0\in(a,b),使f(x_0)>0,\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)>0\\ \exist~\delta>0,使x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)时，f(x)>0\\ \int_a^bf(x)\text{d}x=\int_a^{x_0-\delta}f(x)\text{d}x+\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x)\text{d}x+\int_{x_0+\delta}^bf(x)\text{d}x>0 \]

常见错误说法：

设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 可积， \(f(x)\geq0\)，不恒为 \(0\)，则 \(\int_a^bf(x)\text{d}x>0\)（×）

反例：

\[f(x)= \begin{cases} 0, & x\neq0\\ 1, & x=0\\ \end{cases} \Rightarrow \int_a^bf(x)\text{d}x=0 \]

牛莱公式适用条件

被积函数在积分区间上连续

偶倍奇零使用条件

\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\text{d}x\) 收敛才能用偶倍奇零

反常积分敛散性易错说法

常见错误说法：

\(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内连续，是奇函数，则 \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\text{d}x=0\)

错因：收敛才能用偶倍奇零

\(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内连续，\(\lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^Rf(x)\text{d}x\) 存在，则 \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\text{d}x\) 收敛

错因：正负无穷都收敛才收敛

\(\lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^Rf(x)\text{d}x\) 存在，则 \(\lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^Rf(x)\text{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\text{d}x\)

错因：趋向不一致，正确代换如下——

\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\text{d}x=\lim_{t\to+\infty}\int_{0}^tf(x)\text{d}x+\lim_{u\to+\infty}\int_{-u}^0f(x)\text{d}x \]

错因总结

660

56 拆成上下俩积分（不一定要凑成一整个，然后有一个结论

58 把定积分设为常数然后解方程。变限积分才要求导构造微分方程

59 表格法求积分：上导下积，正负交错，交叉相乘

60 直接换元第一部分就错了，注意换元之后定积分的上下限不能相同不然没有意义！！！换元必须保证单调性

61 换元，利用周期函数的积分性质，巧妙还原重现定义域

62 万能公式 + sec积分

63 换元之后忘了给被积变量换了！！

64 又是区间再现换元！！那个涉及到 \(\sin x\) 的重要的结论；对于复杂式子可以使用区间再现换元 + 负换元重现积分

65 变限积分要分段讨论

70 摆线图像，微元法（以及注意椭圆旋转只看一半！！穿过轴的另一半转的时候相当于重合了）

71 参数代入换元记得换限，弧长公式推导，面积公式（有理分式解方程解错了）

72 算对了但是表面积是加，体积才是减

73 记住质心公式

74 好综合，不会物理应用

75 物理公式，受力分析，万有引力公式

选择

181 少了连续的条件，函数推积分

182 同181，利用连续结论推断

183 构造常数的被积函数，直接比较被积函数

184 先化简，往共性凑

190 递推算，分步积分 / 取特值

191 呜呜呜注意符号问题，\((\ln |x|)'=\frac1x\)，求导之后没有绝对值哇啊啊啊

197 变限积分求导出错，要注意上下限的也要导一下

204 敛散性定义

206 旋转体，注意曲线圈的范围

208 质心公式

209 画图列式子要分两段

210 压强公式