考研高数笔记

基于《张宇30讲》

1. 高数预备知识

1.1 函数概念

反函数

\(f[f^{-1}(x)]=x\)
严格单调函数必有反函数，有反函数的不一定是单调函数
形如 \(f[f(x)]\) 的复合函数分析方法：1.广义化带入；2. 画图分段分析

有界性

必须指明区间

单调性

注意定义法的判别形式：
\(f(x)\)是单调增函数：\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0\)
\(f(x)\)是单调减函数：\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0\)
\(f(x)\)是单调不减函数：\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\geq0\)
\(f(x)\)是单调不增函数：\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\leq0\)

奇偶性

偶函数\(y=f(x)\)关于\(y\) 轴对称，且当 \(f'(0)\) 存在时，必有 \(f'(0)=0\)
\(y=f(x)\) 关于直线 \(x=T\) 对称的充分条件是 \(f(x)=f(2T-x)\) 或 \(f(x+T)=f(T-x)\)

四性综合

奇函数求导变偶函数，偶函数求导变奇函数。
连续奇函数的一切原函数都是偶函数，连续偶函数的原函数中仅有 \(\int_0^x f(t)dt\)一个奇函数
连续函数 \(f(x)\) 以 \(T\) 为周期且 \(\int_0^T f(x)dx=0\)，则 \(f(x)\) 的一切原函数也以 \(T\) 为周期
若 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内可导且 \(f'(x)\) 有界，则 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内有界

1.2 函数图像

根据幂函数单调性简化函数分析方法

原理：\(x>0\) 时，\(y=x\) 与 \(y=\sqrt x, y=\sqrt[3] x,y=lnx\) 有相同单调性，与 \(y=\frac1x\) 有相反单调性。
因此：
对于 \(\sqrt u\) 和 \(\sqrt[3]u\)，可直接用 \(u\) 来研究最值（直接去根号求导）
对于 \(|u|\)，可直接用 \(u^2\) 来研究最值
对于 \(u_1u_2u_3\)，用 \(lnu_1+lnu_2+lnu_3\) 来研究最值
对于 \(\frac1u\)，用 \(u\) 来研究最值（注意结论相反）！！

一些常见面积

一个常见极限：

\[\lim_{x\rightarrow 0^+}x^{\alpha}lnx=0,(\alpha>0) \]

三角函数结论

\(arcsinx+arccosx=\frac{\pi}{2}(-1\leq x\leq 1)\)
\(arctanx+arccotx=\frac{\pi}{2}(-\infty\leq x\leq +\infty)\)

以上结论可通过证常函数的方法来证：即证\(f'=0且f(x_0)=c\)

初等函数

定义域可以是孤立的点
符号函数 \(sgnx\)
取整函数 \(x-1<[x]\leq x\)

在\(x=0\) 的小邻域内，\(|sinx|=sin|x|\)

极坐标图像

非常重要的方法：用直角系观点画极坐标系下的图像

先画直角坐标下的图像，再根据角度描点映射过去

2 数列极限

极限证明

定义法：\(\forall \epsilon>0, \exists N>0,n>N\) 时，恒有 \(|x_n-a|<\epsilon\)，则 \(\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a\)

1. 写距离 \(|x_n-a|<\epsilon\)
2. 解出 \(n\)：\(n>g(\epsilon)\)
3. 取 \(N=[g(\epsilon)]+1\)

\(|q|<1\) 不能推出 \(\lim_{n\rightarrow \infty}q^n=0\)，如 \(q=1-\frac1n\)

极限三性

唯一性：存在即唯一

有界性

保号性：

1. \(\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a>0\rightarrow n>N,x_n>0\)
2. \(x_n\geq 0\) 且 \(\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a\rightarrow a\geq0\)

求极限

不等关系

\(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=A\leftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}|a_n|=|A|\)

求极限：证单调有界，解方程

对于复杂的式子，证单调有界可以用数学归纳法

\(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0\leftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}|a_n|=0\)

原理：\(||a_n|-|A||=||a_n|-0|=|a_n-0|\)

常用于夹逼：要证 \(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0\)，即证\(\lim_{n\rightarrow \infty}|a_n|=0\)，由于 \(|a_n|\geq 0\)，只需证 \(|a_n|\leq0\)即可

数列发散等价于至少一个子列发散 或 有两子列收敛，但敛值不同

错题

（例）2.10 （习题）2.4 2.5 （300题）2.5 2.7 2.8

3 函数极限

趋向某点：\(\exists \delta>0,0<|x-x_0|<\delta\)
趋向无穷：\(\exists X>0,|x|>X\)

极限的等式脱帽法： \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x), \lim_{x\rightarrow x_0} \alpha(x)=0\)

极限存在一定有界，有界不一定极限存在。
保号性：如果 \(f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0), A>0\)，那么存在常数 \(\delta>0\)，使得当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时，有 \(f(x)>0\)

证明：取 \(\delta=\frac A2\)，然后用极限定义证

夹逼准则易混：若任意 \(x\)，总有 \(\phi(x)\leq f(x)\leq g(x)\)，且 \(\lim[g(x)-\phi(x)]=0\)，则 \(\lim f(x)\) 不一定存在

洛必达易忽视的一个使用前提 \(\lim\frac{f'(x)}{F'(x)}\)=A 或 无穷大
（导后极限不存在不代表原极限不存在）

泰勒公式

展开原则：相消不为0且上下同阶

\(x\rightarrow 0\)

\[sinx=x-\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5+o(x^5)\\ arcsinx=x+\frac1{3!}x^3+o(x^3)\\ cosx=1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4+o(x^4)\\ tanx=x+\frac13x^3+o(x^3)\\ arctanx=x-\frac13x^3+\frac15x^5+o(x^7)\\ e^x=1+x+\frac1{2!}x^2+\frac1{3!}x^3+o(x^3)\\ ln(1+x)=x-\frac12x^2+\frac13x^3\\ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2) \]

常用：

\[x-sinx \backsim \frac16x^3\\ x-arcsinx \backsim -\frac16x^3\\ x-tanx \backsim -\frac13x^3\\ x-arctanx \backsim \frac13x^3\\ x-ln(1+x)\backsim \frac12x^2\\ Tips:碰到cosx\pm 1，利用cos2x=2cos^2x-1消掉 \]

求极限

\(1^{\infty}\) 重要替换：\(\lim u^v=e^{\lim(u-1)v}\)

证明：原理为 \(\lim_{n\rightarrow\infty} (1+\frac1x)^x=e\)

\[\lim u^v=\lim \{[1+(u-1)]^{\frac1{u-1}}\}^{(u-1)v}=e^{\lim (u-1)v} \]

能极大简化计算！！！

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海涅定理

无穷小比阶

0是特殊的无穷小（常数），是最高阶的无穷小

无穷小运算规则，

有限个无穷小的和是无穷小。
有界函数与无穷小的乘积是无穷小
有限个无穷小的乘积是无穷小。
无穷小加减原则：

\[O(x^m)\pm O(x^n)=O(x^{min(m, n)})\\ O(x^m)\cdot O(x^n)=O(x^{m+n})\\ O(x^m)=O(kx^m)=k\cdot O(x^m), k\neq 0 \]

函数的连续和间断

设函数f(x)在点x。的某一邻域内有定义，且有\(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\),则称函数f(x)在点\(x_0\)处连续。

间断点

第一类：可去 \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\neq f(x_0)\)，跳跃 \(\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)\neq \lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)\)
第二类：无穷 \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty\)，振荡 \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\) 振荡不存在，其它。

扩展：

错题

例 3.6 3.7 3.10 3.14 3.16 3.22 3.24
习题 3.1 3.2 3.4 3.6 3.7 3.8 3.10
300题 3.5 3.6