考研高数笔记

基于《张宇30讲》

1. 高数预备知识

1.1 函数概念

反函数

$f[f^{-1}(x)]=x$
严格单调函数必有反函数，有反函数的不一定是单调函数
形如 $f[f(x)]$ 的复合函数分析方法：1.广义化带入；2. 画图分段分析

有界性

必须指明区间

单调性

注意定义法的判别形式：
$f(x)$是单调增函数：$(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0$
$f(x)$是单调减函数：$(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0$
$f(x)$是单调不减函数：$(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\geq0$
$f(x)$是单调不增函数：$(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\leq0$

奇偶性

偶函数$y=f(x)$关于$y$ 轴对称，且当 $f'(0)$ 存在时，必有 $f'(0)=0$
$y=f(x)$ 关于直线 $x=T$ 对称的充分条件是 $f(x)=f(2T-x)$ 或 $f(x+T)=f(T-x)$

四性综合

奇函数求导变偶函数，偶函数求导变奇函数。
连续奇函数的一切原函数都是偶函数，连续偶函数的原函数中仅有 $\int_0^x f(t)dt$一个奇函数
连续函数 $f(x)$ 以 $T$ 为周期且 $\int_0^T f(x)dx=0$，则 $f(x)$ 的一切原函数也以 $T$ 为周期
若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导且 $f'(x)$ 有界，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界

1.2 函数图像

根据幂函数单调性简化函数分析方法

原理：$x>0$ 时，$y=x$ 与 $y=\sqrt x, y=\sqrt[3] x,y=lnx$ 有相同单调性，与 $y=\frac1x$ 有相反单调性。
因此：
对于 $\sqrt u$ 和 $\sqrt[3]u$，可直接用 $u$ 来研究最值（直接去根号求导）
对于 $|u|$，可直接用 $u^2$ 来研究最值
对于 $u_1u_2u_3$，用 $lnu_1+lnu_2+lnu_3$ 来研究最值
对于 $\frac1u$，用 $u$ 来研究最值（注意结论相反）！！

一些常见面积

一个常见极限：

$$\lim_{x\rightarrow 0^+}x^{\alpha}lnx=0,(\alpha>0)$$

三角函数结论

$arcsinx+arccosx=\frac{\pi}{2}(-1\leq x\leq 1)$
$arctanx+arccotx=\frac{\pi}{2}(-\infty\leq x\leq +\infty)$

以上结论可通过证常函数的方法来证：即证$f'=0且f(x_0)=c$

初等函数

定义域可以是孤立的点
符号函数 $sgnx$
取整函数 $x-1<[x]\leq x$

在$x=0$ 的小邻域内，$|sinx|=sin|x|$

极坐标图像

非常重要的方法：用直角系观点画极坐标系下的图像

先画直角坐标下的图像，再根据角度描点映射过去

2 数列极限

极限证明

定义法：$\forall \epsilon>0, \exists N>0,n>N$ 时，恒有 $|x_n-a|<\epsilon$，则 $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a$

1. 写距离 $|x_n-a|<\epsilon$
2. 解出 $n$：$n>g(\epsilon)$
3. 取 $N=[g(\epsilon)]+1$

$|q|<1$ 不能推出 $\lim_{n\rightarrow \infty}q^n=0$，如 $q=1-\frac1n$

极限三性

唯一性：存在即唯一

有界性

保号性：

1. $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a>0\rightarrow n>N,x_n>0$
2. $x_n\geq 0$ 且 $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a\rightarrow a\geq0$

求极限

不等关系

$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=A\leftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}|a_n|=|A|$

求极限：证单调有界，解方程

对于复杂的式子，证单调有界可以用数学归纳法

$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0\leftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}|a_n|=0$

原理：$||a_n|-|A||=||a_n|-0|=|a_n-0|$

常用于夹逼：要证 $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0$，即证$\lim_{n\rightarrow \infty}|a_n|=0$，由于 $|a_n|\geq 0$，只需证 $|a_n|\leq0$即可

数列发散等价于至少一个子列发散 或 有两子列收敛，但敛值不同

错题

（例）2.10 （习题）2.4 2.5 （300题）2.5 2.7 2.8

3 函数极限

趋向某点：$\exists \delta>0,0<|x-x_0|<\delta$
趋向无穷：$\exists X>0,|x|>X$

极限的等式脱帽法： $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x), \lim_{x\rightarrow x_0} \alpha(x)=0$

极限存在一定有界，有界不一定极限存在。
保号性：如果 $f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0), A>0$，那么存在常数 $\delta>0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $f(x)>0$

证明：取 $\delta=\frac A2$，然后用极限定义证

夹逼准则易混：若任意 $x$，总有 $\phi(x)\leq f(x)\leq g(x)$，且 $\lim[g(x)-\phi(x)]=0$，则 $\lim f(x)$ 不一定存在

洛必达易忽视的一个使用前提 $\lim\frac{f'(x)}{F'(x)}$=A 或 无穷大
（导后极限不存在不代表原极限不存在）

泰勒公式

展开原则：相消不为0且上下同阶

$x\rightarrow 0$

$$sinx=x-\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5+o(x^5)\\ arcsinx=x+\frac1{3!}x^3+o(x^3)\\ cosx=1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4+o(x^4)\\ tanx=x+\frac13x^3+o(x^3)\\ arctanx=x-\frac13x^3+\frac15x^5+o(x^7)\\ e^x=1+x+\frac1{2!}x^2+\frac1{3!}x^3+o(x^3)\\ ln(1+x)=x-\frac12x^2+\frac13x^3\\ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2)$$

常用：

$$x-sinx \backsim \frac16x^3\\ x-arcsinx \backsim -\frac16x^3\\ x-tanx \backsim -\frac13x^3\\ x-arctanx \backsim \frac13x^3\\ x-ln(1+x)\backsim \frac12x^2\\ Tips:碰到cosx\pm 1，利用cos2x=2cos^2x-1消掉$$

求极限

$1^{\infty}$ 重要替换：$\lim u^v=e^{\lim(u-1)v}$

证明：原理为 $\lim_{n\rightarrow\infty} (1+\frac1x)^x=e$

$$\lim u^v=\lim \{[1+(u-1)]^{\frac1{u-1}}\}^{(u-1)v}=e^{\lim (u-1)v}$$

能极大简化计算！！！

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海涅定理

无穷小比阶

0是特殊的无穷小（常数），是最高阶的无穷小

无穷小运算规则，

有限个无穷小的和是无穷小。
有界函数与无穷小的乘积是无穷小
有限个无穷小的乘积是无穷小。
无穷小加减原则：

$$O(x^m)\pm O(x^n)=O(x^{min(m, n)})\\ O(x^m)\cdot O(x^n)=O(x^{m+n})\\ O(x^m)=O(kx^m)=k\cdot O(x^m), k\neq 0$$

函数的连续和间断

设函数f(x)在点x。的某一邻域内有定义，且有$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$,则称函数f(x)在点$x_0$处连续。

间断点

第一类：可去 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\neq f(x_0)$，跳跃 $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)\neq \lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)$
第二类：无穷 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty$，振荡 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 振荡不存在，其它。

扩展：

错题

例 3.6 3.7 3.10 3.14 3.16 3.22 3.24
习题 3.1 3.2 3.4 3.6 3.7 3.8 3.10
300题 3.5 3.6