概率论与数理统计原理记录（期末速成版）

概率论

求分布律就是列表：数值对应相应概率。

随机变量分布函数

重要符号：分布函数 \(F(x)\)，概率密度 \(f(x)\)

总结：单增、有界性 \((0,1)\)、右连续性

求交并补那些的要画韦恩图辅助理解！！

方差：\(D(x)=E(x^2)-(Ex)^2\), \(D(ax+c)=a^2D(x)\)

与求积分的结合

二重积分：分段 + 复合求定积分

求 \(f(x,y)\) 的二重积分：画图求交集(交面积)。

一维连续型随机变量

对于连续型随机变量 \(X\)，有 \(P\{X=x\}\leq F(x)\)

已知 \(f_x(x)\) 求概率

\(P(a<x<b)=\int_a^b f_x(x)dx\)，带入具体式子求定积分。

求 \(f_x(x)\) 中的未知数

根据 \(f_{-\infty}^{+\infty}f_x(x)dx=1\) 解方程。

已知 \(f\) 求 \(F\)

\(F_A(b)\leftrightarrow P(A\leq b), F(b)\leftrightarrow P(B\leq b)\)

求 \(F\) 中的未知数

\(F(+\infty)=1, F(-\infty)=0, F(分段点^+)=F(分段点^-)\)

已知 \(F\) 求 \(f\)

\(f_A(a)=F_A'(a)\)

已知 \(f\) 求 \(f\)

先根据3. 求出 \(F\)，再求导得 \(f\)

求期望

\(E[g(x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f_x(x)dx\)

二维连续型随机变量

求边缘密度：对另一个变量逆偏导

在转折点划分区域，分段求。

已知 \(F\) 求 \(f\)

\(F(x,y)\) 先对 \(x\) 偏导，再对 \(y\) 偏导。

求 \(F(x,y)\) 中的未知数

\(F(+\infty,+\infty)=1, F(x,-\infty)=0, F(-\infty,y)=0\)

已知 \(F(x,y)\) 求 \(F_X(x),F_Y(y)\)

\(F_X(x)=F(x,+\infty),F_Y(y)=F(+\infty,y)\)，记得把相应变量的范围写在后面。

常见分布

均匀、泊松、指数、二项分布

\(\phi(x)\) 相关

\[\phi(+\infty)=1\\ \phi(-\infty)=0,\\ \phi(0)=0.5\\ \phi(a)=1-\phi(-a)\\ \phi(A)>\phi(B)\rightarrow A>B\\ \phi'(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}},x\in R \]

正态分布

先解出 \(\mu\) 和 \(\sigma\) (一般是正的)，再连同 \(a,b\) 代入右边的表格。

随机变量的数字特征、极限定理

\(E(XY)=EXEY+Cov(X,Y)=EXEY+\rho_{XY}\sqrt{DX}\sqrt{DY}\)，再利用 \(D(X)=E(X^2)+E(X)^2\)

协方差 Cov

协方差：\(\sigma_{XY},cov(X,Y)\)
\(\rho_{XY}\) 已知时， \(Cov(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{DX}\sqrt{DY}\)
\(\rho_{XY}\) 未知时， \(Cov(X,Y)=E(XY)-EX\cdot EY\)

重要性质：

\(cov(X,X)=D(X)\)
\(cov(X,Y)=cov(Y,X), cov(aX,bY)=ab\cdot cov(X,Y),cov(X_1+X_2,Y)=cov(X_1,Y)+cov(X_2,Y)\)

含 \(X,Y\) 的 \(D\)

\(D(aX+bY+c)=a^2DX+b^2DY+2abCov(X,Y)\)

\(X,Y\) 相互独立

\(\leftrightarrow\) \(X,Y\) 不相关（\(\rho_{XY}=0\)）
\(\leftrightarrow Cov(X,Y)=0\)
\(\leftrightarrow E(XY)=EX\cdot EY\)
\(\leftrightarrow D(X\pm Y)=DX+DY\)