【算法学习笔记】03 线性基
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【算法学习笔记】03 线性基
ADD：https://zhuanlan.zhihu.com/p/139074556
定义
对于一个数列 A 来说，P 是他的线性基当且仅当
- A任意数字都能通过P中的一些数字异或出来
- P只能异或出A中的数或A中的数能异或出来的东西
- P中任意数都不能被P中其他数异或出来
- P中数最高位不重复
故，A中数可以异或出来的最大值就是P中数可以异或出来的最大值
线性基是一个上三角矩阵的形式，其对角线全为1
怎么求
原理：每次都把现在没有的最高位1插入，因为如果不选1那么以后再也没有一个数可以使得最高位为1了
每插入一个数的时候都比较最高位：
- 如果要插入的数最高位没有（当前线性基中没有数能表示它），那么直接插入，break
- 如果要插入的数最高位已有（就表示该数可以由线性基中有的数表示出来），则异或上这个已有的数（消去最高位），直至最高位不在线性基中，才可插入 或者 最终变为0（不插入）
演示一下该过程：
现有5个数，从大到小放入线性基
首先1001满足最高位没有，直接插入；同理0111也是直接插入；
到了0110的时候，最高位已有0111，故先与之异或，得0001，故放入相应得位置
下一个是0011，最高位没有，直接插入
最后一个数0010经处理过后得0
\(template:\)
插入（构造线性基）
bool insert (ll x) {
for (int i = 62; i >= 0; i--) {
if ((x >> i & 1) == 0) continue;
if (num[i] == 0) {
num[i] = x;
return true;
}
else x ^= num[i];
}
return false;
}
模板题：https://www.luogu.com.cn/problem/P3812
打卡记录：https://www.acwing.com/activity/content/code/content/4056208/
性质
1. 求生成空间里总共有多少个不同的数字
\(2^{cnt}\)个，\(cnt\) 为线性基中数的个数
可由线性基的构造得此结论
2. 求该数能否被线性基表示
从高位依次往下消，如果最后被消成0，则能被表示
查询x是否能被线性基表示 / 求x与线性基子集的最小异或和
ll querymin (ll x) {
for (int i = 62; i >= 0; i --) {
x = min (x, x ^ num[i]);
}
return x;
}
求x与线性基子集的最大异或和
ll querymax (ll x) {
for (int i = 62; i >= 0; i --) {
x = max (x, x ^ num[i]);
}
return x;
}
板子纯享版
struct linear_basis {
ll num[63];
bool insert (ll x) {
for (int i = 62; i >= 0; i--) {
if ((x >> i & 1) == 0) continue;
if (num[i] == 0) {
num[i] = x;
return true;
}
else x ^= num[i];
}
return false;
}
ll querymin (ll x) {
for (int i = 62; i >= 0; i --) {
x = min (x, x ^ num[i]);
}
return x;
}
ll querymax (ll x) {
for (int i = 62; i >= 0; i --) {
x = max (x, x ^ num[i]);
}
return x;
}
}T;
例题
线性基 第k大
题目
给你\(n\)个数\(a_1,a_2,...,a_n\),任选一个子集（包括空集）求他们的异或和，输出第\(k\)小的数（从0开始计数）
输入格式：第一行两个整数\(n,k(1\leq n\leq60,1\leq k\leq 2^n)\),接下来\(n\)个数\(a_1,a_2,...,a_n(0\leq a_i\leq2^{60})\)
输出格式：一行一个整数表示答案
样例输入：
4 5
1 4 5 8
样例输出：
4
分析
求不同的数中第k小的数，则（假设现在出现了m个0，因为每个数都出现了\(2^m\)次）\(k /= 2^m\) 即可
最高位为1有\(2^5\)种，最高位为0的也有\(2^5\)种，则若 \(k>=2^5\),最高位取1，否则取0
同理依次判断最高位为1有\(2^4\)...
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
int num[N], n, k, q, zero;
bool insert (int x) {
for (int i = 62; i >= 0; i--) {
if ((x >> i & 1) == 0) continue;
if (num[i] == 0) {
num[i] = x;
return true;
}
else x ^= num[i];
}
return false;
}
signed main () {
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i ++) {
int x;
cin >> x;
if (!insert (x)) zero ++;
}
cin >> q;
while (q --) {
cin >> k;
k >>= zero;
vector <int> v;
for (int i = 0; i <= 62; i++)
if (num[i]) v.push_back (num[i]);
int m = v.size();
int ans = 0;
for (int i = m-1; i >= 0; i--) {
if (k >> i & 1) ans = max (ans, ans^v[i]);
else ans = min (ans, ans^v[i]);
}
cout << ans << endl;
}
}
[WC2011]最大XOR和路径
https://www.luogu.com.cn/problem/P4151
任找一棵生成树
走了一条非树边就相当于多异或了一个环
若无环，则\(ans=dis_n\)，经过环\(c\)则\(ans=dis_n \bigoplus k \bigoplus c \bigoplus k=dis_n \bigoplus c\)
则 答案可以由一条\(1\to n\)的路径异或若干个环得到
即 找出所有环，放入线性基，随便找一条链，以它作为初值求最大异或和
转化为子问题：
求出所有的环 + 一个数异或若干个数的最大值
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, ll> pii;
const int N = 5e4 + 5;
ll dis[N];
int n, m;
bool vis[N];
vector <pii> e[N];
struct linear_basis {
ll num[63];
bool insert (ll x) {
for (int i = 62; i >= 0; i--) {
if ((x >> i & 1ll) == 0) continue;
if (num[i] == 0) {
num[i] = x;
return true;
}
else x ^= num[i];
}
return false;
}
ll querymin (ll x) {
for (int i = 62; i >= 0; i --) {
x = min (x, x ^ num[i]);
}
return x;
}
ll querymax (ll x) {
for (int i = 62; i >= 0; i --) {
x = max (x, x ^ num[i]);
}
return x;
}
}T;
void dfs (int u) { //枚举所有环
vis[u] = true;
for (auto vi : e[u]) {
int v = vi.first;
ll w = vi.second;
if (!vis[v]) {
dis[v] = dis[u] ^ w;
dfs (v);
}
else {
T.insert (dis[u] ^ dis[v] ^ w); //环的异或和
}
}
}
int main () {
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < m; i ++) {
int u, v; ll w;
cin >> u >> v >> w;
e[u].push_back ({v, w});
e[v].push_back ({u, w});
}
dfs (1);
cout << T.querymax(dis[n]) << endl;
}
F - Spices
再来一到比较裸的，atc的
https://atcoder.jp/contests/abc236/tasks/abc236_f
题意：在集合S中选择一些数字进行异或和
可以得到1∼2^n−1之间的所有数字，求最小的花费。
分析：线性基模板，排个序，套板子即可
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 20;
int c[N], n, m;
signed main () {
cin >> n;
m = 1 << n;
vector <pii> v;
for (int i = 1; i < m; i ++) {
int x;
cin >> x;
v.push_back ({x, i});
}
sort (v.begin(), v.end()); //按照花费从小到大排
int ans = 0;
vector <int> t(n+1, 0); //线性基
for (auto vi : v) {
int val = vi.first, x = vi.second;
for (int i = 0; i < n; i ++) {
if ((x >> i & 1) == 0) continue;
if (t[i] == 0) { //更新线性基
ans += val;
t[i] = x;
break;
}
else x ^= t[i];
}
}
cout << ans << endl;
}
//在集合S中选择一些数字进行异或和
//可以得到1∼2^n−1之间的所有数字，求最小的花费。
//线性基模板
\(Reference:\)
未完待续
