【高等数学】高等数学总复习

高等数学总复习

杂项

1. 三角不等式

\[||x| - |y|| \leq |x\pm y| \leq |x| + |y| \]

2. \((ln|x|)' = \frac{1}{x}\)

3.极限的一个结论

\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n+b^n+c^n} = max (a, b, c)\\ (a, b, c > 0) \]

\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x^n+x^n+...+x^{n^2}} = max (x, x^2, ...,x^{n^2})\\ (x > 0) \]

4. 初等函数在定义区间内连续

连续函数加减乘除、复合 ——> 结果还是连续

5. $当x\in (0, \pi/2)时，tanx > x > sinx $

6.伽马函数：\(\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}dx=n!(n\in N^+)\)

一、极限

0. 求极限总论：

处理准则：

  1. 定型：若为已定式，直接代入求解；若为未定式，见2；

  2. 四化：

    1. 非0代入
    2. 根式化简
    3. 无穷小 \(\to\) 泰勒，洛必达，四则运算
    4. 幂指函数

  3. 必须要分左右极限来求的情况：

    \[e^\infty,1^\infty ;\,\,arctan\infty;\,\, [x](x\to Z) ;\,\,|x|;\,\,分段函数 \]

不可局部代值，除非是非零因子

1. 按照考点划分

（0）重要极限

\[\lim_ {n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1,\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1\\ \lim_{x\rightarrow \infty}(1+\frac1x)^x=e\\ \]

(1) 无穷小量

常见等价无穷小替换
和取低阶原则
  • \(x+\alpha(x) \backsim x\)
关系定理

  • \[\lim_{n \to \fbox{} }f(x) = a\Leftrightarrow f(x)=a+\alpha\\ (\alpha 是x \to \fbox{}时的无穷小) \]

两种常见构造类型
  • \(lnf(x),(f(x)\rightarrow1)\)型：\(lnf(x)=ln[1+f(x)-1]\backsim f(x)-1\)
  • \(f^{\alpha}(x)-1,(f(x)\rightarrow1)\)型：\([f(x)-1+1]^{\alpha}-1\backsim \alpha[f(x)-1]\)

(2) 常见泰勒

展开原则：相消不为0且上下同阶

\(x\rightarrow 0\)

\[sinx=x-\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5+o(x^5)\\ arcsinx=x+\frac1{3!}x^3+o(x^3)\\ cosx=1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4+o(x^4)\\ tanx=x+\frac13x^3+o(x^3)\\ arctanx=x-\frac13x^3+\frac15x^5+o(x^7)\\ e^x=1+x+\frac1{2!}x^2+\frac1{3!}x^3+o(x^3)\\ ln(1+x)=x-\frac12x^2+\frac13x^3\\ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2) \]

常用：

\[x-sinx \backsim \frac16x^3\\ x-arcsinx \backsim -\frac16x^3\\ x-tanx \backsim -\frac13x^3\\ x-arctanx \backsim \frac13x^3\\ x-ln(1+x)\backsim \frac12x^2\\ Tips:碰到cosx\pm 1，利用cos2x=2cos^2x-1消掉 \]

(3)洛必达

  • 注意使用条件。洛完结果不唯一就不能洛

(4) 四则运算

\[\exists \pm \exists \rightarrow \exists\\ \exists \pm 不\exists \rightarrow 不\exists\\ 不\exists \pm 不\exists \rightarrow 未知\\ \exist \cdot 不\exist \rightarrow 未知\\ 不\exist \cdot 不\exist \rightarrow 未知\\ \]

  • 乘除法中的非0项可以先算
  • \(e^f-e^g\)型：提后者

2. 数列极限

(1)定义

  • 定义

    \[\lim_{n \to \infty}x_n = A\Leftrightarrow \forall \sigma > 0, |x_n-A|<E\\（\exist N > 0, 当n>N时） \]

  • 延伸

    image

  • 收敛 / 发散

    \[\lim_{n \to \infty}x_n= \begin{cases} A\exists \Rightarrow \{x_n\}收敛于A\\ A不\exists \Rightarrow \{x_n\}发散 \end{cases} \]

  • 极限含义

    存在N，其后所有数都接近A

(2)收敛数列的性质

  • 收敛一定有界，有界不一定收敛

  • 保号性：(要注意是后面才保号，前面无关)

    \[若\lim_{n \to \infty}x_n>0,则n \to \infty时，x_n>0 \]

(3)求极限

  • 大前提

    • 不可导（不连续）

    • 不能往0跑

    1. 转化为函数（连续化处理）

    1. 夹逼准则

      \[z_n \leq x_n \leq y_n\\ 同一趋向时，z_n和y_n极限相同 \]

      常用放缩方法：

      1. 分子分母同阶时，放缩分母使得分子可加

      2. \[A_1,A_2,...,A_n>0且M = max(A_1,A_2,...,A_n)时，\\M \leq A_1+A_2+...+A_n \leq nM \]

  • 3.数列极限求和形式

    • 利用不定积分的计算型定义

(4)证极限

  • 原理：单调有界必有极限， 方法：数学归纳法

    1. 在草稿纸上求出极限

    2. 验证 n = 1时成立

    3. 假设n = k时成立，证明n = k +1时也成立

    4. 证毕

3. 按极限类型划分

(1) \(\frac{0}{0}\)

    1. 等价无穷小替换
    1. 洛必达
    1. 复杂函数用 泰勒公式 / 麦克劳林替换

(2) \(\frac{\infty}{\infty}\)

  • 抓大头；上下同除最大项；洛必达

(3) \(\infty - \infty\)

  • 有分母：通分

  • 无分母：分子有理化，倒代换

(4) \(0·\infty\)

  • 转化为 \(\frac{0}{0}\) 或者 \(\frac{\infty}{\infty}\)

  • 注：不要把 $$ln$$ 或 反三角 放分母

(5) \(1^\infty\)

  • \(lim u ^ v = e ^{lim v (u-1)},(u \to 1,v \to \infty)\)

(6)$ 0^0 、 \infty^0$

  • 用对数恒等式，把指数放下来

  • 不要忘了 e ！！！

(7) 求无穷级数的极限

  • 由部分推整体
  • 与等差等比，定积分等结合

（8）求带积分线的极限

  • 洛必达
  • 积分中值定理
  • 放缩然后夹逼 （比较定理）

二、导数

1. 定义

  • 瞬时变化率

    \[f'(x_0)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \]

  • 增量定义

    \[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]

  • 重要

    \[f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]

2. 单侧导数

  • \[f'_+(x_0)=\lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ f'_-(x_0)=\lim_{x \to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]

  • 重要性质：不可导的绝对值函数\(|x-x_0|\)乘上可导（连续）函数之后变可导

3. 可导与连续

  • 常见易错

    \(f(x)\) 在 \(x_0\)处可导，则\(f'(x)在x_0\)处连续 （错！，应该为\(f(x)在x_0\)处连续）

    若\(f''(x_0)\exists\)，则\(f'(x)在x_0\)处连续 √

    若\(f''(x_0)\exists\)，则\(f(x)在x_0\)处连续 √

  • 分段函数

    分段点上用定义求

4. 求导

（1）必背导数表

\[(tanx)'=sec^2x\\ (cotx)'=-csc^2x\\ (secx)'=secxtanx\\ (cscx)'=-cscxcotx\\ (log_ax)'=\frac1{xlna}\\ (a^x)'=a^xlna\\ [ln(x+\sqrt{x^2+a^2})]'=\frac1{\sqrt{x^2+a^2}}\\ [ln(x+\sqrt{x^2-a^2})]'=\frac1{\sqrt{x^2-a^2}}\\ (arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (arctanx)'=\frac{1}{1+x^2}\\ (arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2}\\ \]

（2）反函数求导

  • 一阶

    \[\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f'(x)} \]

  • 二阶

    \[\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3} \]

（3）高阶导数

  • 公式法（5条 + 莱布尼茨）

    \[1. [\frac1{ax+b}]^{(n)}=\frac{a^nn!(-1^n)}{(ax+b)^{n+1}}\\ 2. [a^x]^{(n)}=a^x(lna)^n,\,\,[e^{ax}]^{(n)}=e^{ax}a^n\\ 3. [sinx]^{(n)}=sin(x+\frac n2\pi),\,\,[cosx]^{(n)}=cos(x+\frac n2\pi)\\ 4. [x^\alpha]^{(n)}= \begin{cases} 0, & n>\alpha\\ \alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)x^{\alpha-n} & n\leq \alpha \end{cases}\\ 5.莱布尼茨：[AB]^{(n)}=C_n^0A^{(n)}B+C_n^1{A^{(n-1)}}B^1+...+C_n^nAB^{(n)} \]

  • 泰勒展开

  • 递归法

（4）参数方程

  • 切方 （k为该点导数），法方 （垂直于切方）

  • 极坐标与参数方程互化

    \[x=r(\theta)cos\theta,\,\,y=r(\theta)sin\theta\\ r(\theta)=\sqrt{x^2+y^2} \]

  • 相切：\(f(x_0)=g(x_0)且f'(x_0)=g'(x_0)\)

5. 微分()

（1）含义

  • 辨析：\(自变量:\Delta x=dx; 因变量:\Delta y \neq dy\)

  • \(y=f(x),若满足 \Delta y=A\Delta x+O(\Delta x),\Delta x\to 0，则y=f(x)可微\)

    其中，\(A\)就是微分\(dy\)，也叫线性主部

（2）几何意义

  • 切线增量\(dy\)（直线），函数增量\(\Delta y\)（曲线） （\(\Delta x \to 0,\Delta y \approx dy\)）

（3）导数的微分学应用

  • 规范答案书写

    除拐点要写点坐标之外，间断点、极值点、极值、驻点等都填值

  • 单调性

    一点导数正负性不决定邻域内单调性，除非导数连续

    • 单调性误区

      单点\(f'(x_0)\)不能证明增减

      1. 若\(f'(x_0)>0\)，无法判断\(f(x)\)在\(x_0\)邻域内的单调性
      2. 若\(f'(x_0)>0\)且\(f'(x_0)\)在\(x_0\)处连续，则断\(f(x)\)在\(x_0\)邻域内单增

    • 单调性的破题方法

      \(F'(x)\rightarrow F''(x)\rightarrow F'''(x)\rightarrow ...\) ： 找上一级为0的点

      • 6种常见构造方法

      \[1. f'(x)f(x)\rightarrow \frac 1 2[f^2(x)]'\\ 2. \frac{f'(x)}{f(x)}\rightarrow [lnf(x)]'\\ 3. f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\rightarrow [f(x)g(x)]'\\ 4. f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\rightarrow [\frac {f(x)}{g(x)}]'\\ 5. f'(x)+f(x)\rightarrow [e^xf(x)]'\\ 6. f'(x)-f(x)\rightarrow [e^{-x}f(x)]' \]

  • 函数极值

    • 定义：邻域（左右都有）

    • 可疑点：1. 驻点\(f'(x_0)=0\) 2. \(f'(x_0)\)不存在

    • 第一充分条件：若\(f(x)\)在\(x_0\)处连续，且\(f'(x)\)在\(x_0\)去心邻域两侧异号

    • 第二充分条件：若\(f'(x_0)=0\)且\(f'(x_0)\neq 0\) (\(>0\)取极小，\(<0\)取极大)

  • 函数最值

    • 连续的函数中，唯一极值点就是最值点
    • 求解步骤：1. 求(a, b)内极值 2. 求f(a) f(b) 3. 比较

  • 函数凹凸性

    • 判定：$\forall x \in I,f''(x)>0\rightarrow \(凸；\)\forall x \in I,f''(x)<0\rightarrow $凹

    • 定义：（凹函数）割线高于曲线；（凸函数）割线低于曲线

    • 拐点

      • 定义：凹凸线发生改变的点

      • 可疑点：1. \(f''(x_0)=0\) 2. \(f''(x_0)\)不存在

      • 第一充分条件：\(f''(x_0)\)两侧异号

      • 第二充分条件：\(f''(x_0)=0\)且\(f'''(x_0)\neq 0\)

  • 求渐近线（先垂直后水平最后斜）

    • 垂直：1. 找无定义点\(x_0\) 2. \(\lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)}=\infty\)

    • 水平：\(\lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}=A\) \((x\rightarrow +\infty / -\infty)\)相同拆开，不同合并

    • 斜：

      \[a=\lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{f(x)}{x}}, b=\lim_{x\rightarrow \infty}[f(x)-ax] \]

  • 曲率圆

    • 曲率半径\(R\)，曲率\(k=\frac{1}{R}, k\)越大， 越弯

    • \[k=\frac{|y''|}{[1+y'^2]^{\frac {3}{2}}},且k>0 \]

三、不定积分（记得+C）

1. 含义

  • 凑即积

2. 性质

\[\int f(x)dx=\int df(x)=f(x)+C\\ \int d\rightarrow +C,\,\,\,d\int \rightarrow 不加 C \]

3. 原函数存在性

若\(\int f(x)dx\)存在：

  1. \(f(x)\)连续，则原函数必存在
  2. \(f(x)\)存在第一类 / 无穷间断点。则原函数必不存在
  3. 若\(f(x)\)有振荡间断点，则原函数可能存在

4. 求不定积分

（1）必背积分表

别漏了绝对值

\[\int tanxdx=-ln|cosx|+C\\ \int cotxdx=ln|sinx|+C\\ \int secxdx=ln|secx+tanx|+C\\ \int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C\\ \int sec^2xdx=tanx+C\\ \int csc^2xdx=-cotx+C\\ \int secxtanxdx=secx+C\\ \int cscxcotxdx=-cscx+C\\ \]

\[\int \frac1{x^2+a^2}dx=\frac1aarctan\frac xa+C\\ \int \frac1{x^2-a^2}dx=\frac1{2a}ln|\frac{x - a}{x+a}|+C\\ \int \frac1{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsinx\frac xa+C\\ \int \frac1{\sqrt{a^2+x^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C\\ \int \frac1{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C\\ \int \frac1{a^2sin^2x+b^2cos^2x}dx\rightarrow\frac1{ab}arctan\frac{atanx}b+C(同除cos^2x)\\ \int \frac{asinx+bcosx}{dsinx+ecosx}dx\rightarrow \int \frac{m分母+n分母'}{分母}dx(配系数) \]

（2）ex 类

凑一个\(e^x\)以便凑微分

\[eg.\int \frac1{1+e^x}dx=\int \frac{1+e^x-e^x}{1+e^x}dx=x-ln(1+e^x)+C \]

（3）三角函数类

  • 模型题

  • 必备转化公式

    \[tan^2x+1=sec^2x,\,\,\,cot^2x+1=csc^2x \]

  • 1碰cos，消

    \[1+cosx=2cos^2\frac x2,\,\,\,cosx-1=-2sin^2\frac x2 \]

  • 次数：偶次降幂，奇次凑分（拿出一个）

（4）第二类换元积分法

  • 注：d x 也要换，别忘了代回

  • 三角代换

  • \[\sqrt{a^2-x^2}\rightarrow 令x=asint\\ \sqrt{a^2+x^2}\rightarrow 令x=atant\\ \sqrt{x^2-a^2}\rightarrow 令x=asect\\ \]

    换回方法：画一个三角形，用a x 表示三条边

  • 无理根式换元

    \[直接令t=\sqrt[n]{ax+b}或\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \]

（5）分部积分

  • 规则：反对幂三指（谁在后谁入d）

  • 技巧：乘法公式逆用

（6）有理函数积分

直接配的两类：

  1. \(\int\frac1{Ax^2+Bx+D}dx\) 配方，化成 \(\frac1{x^2+a^2}\)
  2. \(\int\frac{Ex+F}{Ax^2+Bx+D}dx\) 配凑：\(\int \frac{m分母'+n'}{分母}dx\)

  • 假分式化真分式

  • 拆分（分母必须要化简到最简形式再拆分）

    • 括号外决定项数

    • 分子写比分母低一次的多项式

      • 有括号（比括号低一次）

      • 无括号（比分母低一次）

    • 括号内看次方项

    \[eg.\frac1{(x+2)^3(x^2+x+1)^2}=\frac A{x+2}+\frac B{(x+2)^2}+\frac D {(x+2)^3}+\frac{Ex+F}{x^2+x+1}+\frac{Gx+H}{(x^2+x+1)^2} \]

四、定积分

1. 定义

（1）计算型定义

面积：

\[\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{b-a}nf(a+\frac{b-a}ni)=\int_a^bf(x)dx \]

（2）基本形式

\[1. \lim_{n\rightarrow \infty}\frac1n\sum_{i=1}^{n}f(\frac in)=\int_0^1f(x)dx(右端点)\\ 2.\lim_{n\rightarrow \infty}\frac1n\sum_{i=1}^nf(\frac{i-1}n)=\int_0^1f(x)dx(左端点) \]

  • 可用于数列极限求和：1. 和 2. 提 3. 找项

  • 拓展：分为\(2n\)份（\(n\rightarrow 2n\)）

2. 几何意义

（1）绝对面积

（2）半圆 椭圆

\[半圆:\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac14\pi a^2\\ 椭圆:\int_0^a\sqrt{ax-x^2}dx=\frac\pi 2(\frac a2)^2 \]

椭圆（两点定直径）：

\[x^2+y^2=ax过(0,0)和(a,0)\\ x^2+y^2=bx过(0,0)和(0,b) \]

3. 定积分性质

（1）基本

定积分是一个数，与变量选取无关

（2）奇偶性

\[奇函数:\int_{-a}^af(x)dx=0\\ 偶函数:\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx \]

（3）比较定理

积分线相同，被积函数不同，考比较定理

  1. 若\(f(x\leq g(x))\)则\(\int_a^bf(x)dx\leq \int_a^bg(x)dx,(b>a)\)
  2. 只要有一个部分比你大，绝对比你大
  3. 仅需比较两个被积分函数的大小

（4）周期性

  1. \(\int_0^{nT}f(x)dx=n\int_0^Tf(x)dx\)

  2. \(\int_a^{a+T}f(x)dx\)与\(u\)无关（只要积分线长度等于周期，就都相等）

（5）积分中值定理

若\(f(x)\)在\([a,b]\)连续，则至少存在一个\(\xi \in [a,b]\)使\(\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)\)

平均值：\(\overline{f(x)}=\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}\)

只要积分变量字母不变，上下限范围所属关系不变

4. 求定积分

（1）华莱士公式（点火公式）

\[\int_0^{\frac\pi2}sin^nxdx=\int_0^\frac\pi2cos^nxdx= \begin{cases} \frac{n-1}n\frac{n-3}{n-2}...\frac12\frac\pi2,&n为偶\\ \frac{n-1}n\frac{n-3}{n-2}...\frac23,&n为奇 \end{cases} \]

\[1. \int_0^{\frac\pi2}sin^nxdx=\int_0^{\frac\pi2}cos^nxdx\\ 2. \int_0^\pi sin^nxdx=2\int_0^\frac\pi2sin^nxdx\\ 3. \int_0^\pi cos^nxdx= \begin{cases} 2\int_0^{\frac\pi2}cos^nxdx,&n为偶\\ 0,&n为奇\\ \end{cases}\\ 4.\int_0^{2\pi}sin^nxdx=\int_0^{2\pi}cos^nxdx= \begin{cases} 4\int_0^{\frac\pi2}sin^nxdx,&n为偶\\\ 0,&n为奇 \end{cases} \]

（2）第二类换元积分法

  • 基本原则：三换（换被积函数，换积分变量，换上下限）

  • 轮换对称性：\(\int_0^{\frac\pi2}f(sinx,cosx)dx=\int_0^{\frac\pi2}f(cosx,sinx)dx\) （证明：令\(\frac\pi2-x=t\)）

  • 区间再现换元法: 令“上+下 – x = t ”

    \[eg.\int_a^bf(x)dx,令b+a-x=t\\ 则\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(b+a-t)dt=\int_a^bf(b+a-x)dx \]

    来两个典例：

    \[1.\int_0^\pi xf(sinx)dx=\frac\pi2\int_0^\pi f(sinx)dx, \,\,\,\,\,2.求\int_0^\pi \frac{xsinx}{1+cos^2x}dx \]

5. 变限函数

\(F(x)=\int_a^xf(t)dt:\) \(x\) 是自变量，\(t\)是积分变量

（1）定理

  1. 若\(f(x)\)连续，且\(F(x)=\int+a^xf(t)dx\)，则\(F(x)\)必可导，且\(F'(x)=f(x)\)，则\(F(x)\)为\(f(x)\)的一个原函数
  2. 若\(f(x)\)连续，则\(\int f(x)dx=\int_0^xf(t)dt+C\)

（2）求导法则

  • 标准型：若\(f(x)\)连续，\(F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(t)dt\)

    则 \(F'(x)=f[\beta(x)]\beta'(x)-f[\alpha(x)]\alpha'(x)\)（上进上导—下进下导）

  • 非标准型：换元，把x当作常量

    \[令x-t=u,则\int_0^xf(x-t)dt=\int_x^0f(u)d(x-u)=-\int_x^0f(u)du=\int_0^xf(u)du \]

6. 反常积分

（1）概念

有一端为\(\infty\) 或 存在瑕点（无定义点 且 该点极限为\(\infty\)）

（2）计算

  • 先找瑕点（奇点）（有瑕点一定要拆开来算）
  • \(\infty\)型：正常算 \(+\, lim\, \infty\)
  • 四则运算
  • 伽马函数

(3)敛散性判别

  1. 无穷区间的反常积分\(\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}:\) 在\(p>1\)时收敛，在\(p\leq1\)时发散
  2. 无界函数的反常积分\(\int_0^1\frac{dx}{x^p}(p>0,奇点x=0):\) 在\(0<p<1\)时收敛，在\(p\geq 1\)时发散

7. 定积分应用

（1）物理

  • 变力做功问题：\(W=\int_a^bF(x)dx\)

  • 水下压强：\(F_压=\int_0^b\rho gax\,dx\)

image
这图画了老半天

（2）极坐标

  • 定义

  • 极直转换：\(x=rcos\theta,\,\,y=rsin\theta\)

  • 常见平面极坐标曲线

    • 心形线

    image

    • 双扭线：\((x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)\)image

    • 阿基米德螺线image

    • 玫瑰线image

（3）面积 体积

  1. 面积

    \[S_1=\int_a^b[y_2(x)-y_1(x)]dx,\,\,\,\,S_2=\int_c^d[x_2(y)-x_1(y)]dx \]

    注：靠近正半轴的 – 远离正半轴的

小心正负！！
平面面积

  • 极坐标

  • 参数方程

旋转体体积

image

  • x 轴

  • y 轴

  • x = c

旋转曲面表面积
平面曲线的弧长

image

  • 弧微分

五、常微分方程

1. 基础

  • 概念

    c 的个数就是阶数

  • 一阶微分方程判定思路

    \[\frac{dy}{dx}=...\rightarrow 可分离f(x)g(x)\rightarrow 齐次f(\frac yx)\rightarrow \\头重脚轻(如果不是，就先倒代换再做) \begin{cases} 1. 一节非齐次线性方程\\ 2. 伯努利 \end{cases} \]

2. 齐次与非齐次的通解

齐次：\(c_1\)齐 + \(c_2\)齐 （\(c_1,c_2\)线性无关）

非齐次：\(c_1\)齐 + \(c_2\)齐 + 非齐次线性方程组的一个特解

转化：非齐次作差 \(\rightarrow\) 齐次

3. 一阶

（1）可分离

\[\frac{dy}{dx}=f(x)g(x) \]

出现\(ln：+ lnc_1\) （以便化简）

（2）齐次

\[\frac{dy}{dx}=f(\frac yx)\rightarrow 令\frac yx = u,\,\,则\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx} \]

（3）一阶非齐次线性

形式：\(y'+p(x)y=q(x)\)

公式：

\[y=e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int f(x)dx}dx+c] \]

（注：不必加绝对值）

助记（积分因子法）：

  1. 先找到因子\(e^{\int p(x)dx}\)，原方程两边同乘该因子，得

    \[y'e^{\int p(x)dx}+y\,p(x)e^{\int p(x)dx}=q(x)e^{\int p(x)dx} \]

  2. 观察易得，左半边为 \([y\,e^{\int p(x)dx}]'\)

  3. 两边同时积分就能解得 \(y\)

（4）伯努利

形式：\(y'+p(x)y=q(x)y^n\)

做法：

  1. 一除：\(\frac 1{y^n}y+p(x)y^{1-n}=q(x)\)

  2. 二换：令\(z=y^{1-n}\)，则\(\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}\)

  3. 三回代：\(\frac 1{1-n}\frac{dz}{dx}+p(x)z=q(x)\)

    最后化为一阶非齐次线性：\(\frac{dz}{dx}+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)\)

4. 高阶

（1）二阶可降阶

  1. 不显 \(y,\,y''=f(y',x):\) 令 \(y'=p,\) 则\(y''=\frac{dp}{dx}\)
  2. 不显 \(x,\,y''=f(y',y):\) 令 \(y'=p,\) 则\(y''=p\frac{dp}{dy}\)

（2）二阶常系数线性

  1. 齐次

    1. 写特征方程：\(\lambda^2+p\lambda+q=0\)

    2. 解特征值：\(\lambda_1,\lambda_2\)

    3. 写通解

      \[\begin{cases} \lambda_1\neq\lambda_2\rightarrow c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}\\ \lambda_1=\lambda_2\rightarrow (c_1+c_2x)e^{\lambda_1x}\\ \lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\rightarrow e^{\alpha x}[c_1cos\beta x+c_2sin\beta x] \end{cases} \]

  2. 非齐次

（3）欧拉

5. 叠加定理

六、中值定理

1. 索引

  1. 存在一个\(\xi\)使得等式成立
    1. $F(\xi)=0\rightarrow \(**零点定理**\)\rightarrow F(x)$
    2. $F'(\xi)=0\rightarrow \(**罗尔定理**\)\rightarrow $三步构造
  2. 证\(f(\xi)=A\rightarrow\)介值定理+最值定理\(\rightarrow m\leq A \leq M\)
  3. 同一函数做差\(\rightarrow\)拉格朗日中值定理
  4. 两个不同函数做差\(\rightarrow\)柯西中值定理

2. 闭区间连续函数性质

（1）有界定理

（2）最值定理

\(m, M\)

（3）介值定理

若\(f(x)\)在\([a,b]\)连续，且\(m<A<M\)，则至少 \(\exists \,\xi\in[a,b]\)。使\(f(\xi)=A\)

\[平均数：f(\xi)=\frac{c_1f(x_1)+c_2f(x_2)+...+c_nf(x_n)}{c_1+c_2+...+c_n}\\ f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}{x_1+x_2+...+x_n},\,\,\xi \in [x_1,x_n] \]

（4）零点定理

若\(f(x)\)在\([a,b]\)连续，且\(f(a)f(b)<0\)，则至少 \(\exists \,\xi\in a,b\)，使\(f(\xi)=0\)

3. 积分中值定理

去积分线

（1）使用

若\(f(x)\)在\([a,b]\)连续，则至少 \(\exists \,\xi\in [a,b]\)，使\(\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)\)

\[平均数：\overline{f(x)}=\frac {\int_a^bf(xdx)}{b-a} \]

（2）证明

\[证明f(\xi)=\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}:\\ f(x)在[a,b]连续，则m\leq f(x)\leq M\\ \therefore \int_a^bmdx\leq\int_a^bf(x)dx\leq \int_a^bMdx\\ \therefore m(b-a)\leq f(b)-f(a)\leq M(b-a)\\ \therefore m\leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\leq M\\ 由介值定理得，必定\exists \,\xi \in[a,b],使得f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx\\ \therefore \int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a) \]

（3）广义积分中值定理

可使用拉格朗日中值定理推广至\((a,b)\)：

若\(f(x)\)在\((a,b)\)连续，则至少 \(\exists \,\xi\in [a,b]\)，使\(\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)\)

原理：被积分函数连续，变限函数一定可导image-20220423225106011

4. 微分中值定理

（1）费马引理

若\(f(x)\)在\(x_0\)处取得极值，且\(f(x)\)在\(x_0\)处可导，则\(f'(x_0)=0\)

（2）罗尔定理

若\(f(x)\)在\([a,b]\)连续，\((a,b)\)可导，且\(f(a)=f(b)\)，则\(\exists \, \xi \in (a,b),\,f'(\xi)=0\)

找\(F(x)\)的万能法：

  1. \(\xi \rightarrow x\)
  2. 找原函数：不定积分 / 微分方程
  3. \(c = F(x)=...\) （把\(c\)扔一边，另一边就是\(F(x)\)

（3）拉格朗日中值定理

用罗尔定理证得

\[若f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，则\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi) \]

（4）柯西中值定理

\[若f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，且g'(x)\neq 0，\\则\exists \,\xi\in (a,b),使得\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)},\,\,(a<\xi < b) \]

证明：

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（5）泰勒定理

\[1.皮亚诺余项： f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +o[(x-x_0)^n]\\ 2.拉格朗日余项：f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \]

特别的，当\(x_0=0\)时有麦克劳林公式：

\[1. f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)\\ 2. f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \]

七、多元函数微分学

八、多元函数积分学

1. 概念

（1）含义

绝对体积

\[V = \lim_{n \to \infty}{\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i} = \int_ {} \int_D f(x, y)\, d\sigma \]

积分变量\(d\sigma = dx\, dy\)

取点 \(\rightarrow\) 划线 \(\rightarrow\) 投影 \(\rightarrow\) 积分

（2）性质

\[\int_ {} \int_D 1\, d\sigma = S_D \]

（3）比较定理

积分线相同，函数不同

若在 D 上\(f(x, y) \leq g(x, y)\) 则有

\[\int_ {} \int_D f(x, y)\, d\sigma \leq \int_ {} \int_D g(x, y)\, d\sigma \]

（4）中值定理

\(f(x, y)\)在有界闭区域 D 上连续，至少存在一点\((\xi ,\eta) \in D\)，使得

\[\int_ {} \int_D f(x, y)\, d\sigma = f(\xi, \eta)\sigma \]

2. 计算

（0）综合运用

画出积分区域，有对称性就用技巧法，没有就用直接法 （二者结合着用）

拆

分块区域

（1）直角坐标算二重积分

  1. X 型：先积 x 后积 y

    \[\int_a^b {dx}\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x, y)\, dy \]

  2. Y 型：先积 y 后积 x

    \[\int_a^b {dy}\int_{\phi_1(y)}^{\phi_2(y)}f(x, y)\, dx \]

（2）极坐标算二重积分

  1. 适用：积分区域是圆 或 被积分函数是：

    \[f(x^2+y^2),f(\frac{ax^n+by^n}{cx^n+dy^n})（同比次方式） \]

  2. 公式：

    \[\int_{\alpha}^{\beta} {} \,{\rm d}\theta \int_{0}^{r(\theta)} {f(rcos\theta,rsin\theta)}r\,{\rm d}r \]

    1. 找 \(\theta\) ： 范围\([\alpha, \beta]\)
    2. 取 \(\theta\) ： 做射线，找边界方程 \(r(\theta)\)
    3. 助记 ：\(ds = dx\, dy = r \, dr \, d\theta\)

（3）技巧法

适用抽象函数

a. 积分区域下的奇偶性
  1. 积分区域 D 关于 x 轴对称 \(\rightarrow\) 看 y 函数（ y 奇为0， y 偶为2倍）
  2. 积分区域 D 关于 y 轴对称 \(\rightarrow\) 看 x 函数（ x 奇为0， x 偶为2倍）
  3. 拆解，做辅助线
b. 轮换对称性

区域关于 y = x 对称

x y 互换，然后二者加起来

（5）综合练习：

  1. \[求\iint y[1+xe^{\frac12(x^2+y^2)}]dxdy,D由直线y=x,y=-1,x=1围成 \]

  2. \[求\iint \frac{xsin(\pi\sqrt{x^2+y^2})}{x+y}dxdy,D=\{(x,y)|1\leq x^2+y^2\leq4,x\geq 0,y\geq 0\} \]

  3. \[求\iint max(xy,1)dxdy,D=\{(x,y)|0\leq x\leq2,0\leq y\leq2\} \]

  4. \[求\iint |x^2+y^2-1|dxdy,D=\{(x,y)|0\leq x\leq1,0\leq x\leq 1\} \]

  5. \[交换二次积分的积分次序：\int_{-1}^0dy\int_2^{1-y}f(x,y)dx \]

  6. \[求\int_0^2dx\int_x^2e^{-y^2}dy \]

  7. image

  8. \[把\int_0^\frac\pi2 d\theta\int_0^{cos\theta}f(rcos\theta,rsin\theta)rdr转化成x型和y型 \]

  9. \[\lim_{t\rightarrow 0^+}\frac{\int_0^tdx\int_t^xe^{-y^2}dy}{t^\alpha}=\beta\neq0 \]

解析：

  1. image

  2. 轮换对称
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  3. 分块积分
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  4. 分块 灵活运用可加性
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  5. 注意次序（小心正负号）
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  6. 积不出来，交换次序
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  7. 我又画错图了
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  8. 极直转化
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  9. image

三重积分

先咕咕

曲面积分

平面类比二重积分；空间类比三重积分

线：\(ds\)，面：\(dS\)

对面积分的曲面积分计算法：

\[\iint f(x,y,z)dS=\iint f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+x_x'^2+z_y'^2}\,dxdy \]

\(z\) 解不出来 \(\rightarrow\) 隐函数求导

第一型曲线积分

绝对值曲线画法：去绝对值 + 对称性

不均匀表面质量

面密度：\(\rho=f(x,y,z)\)，\(dm=f(x,y,z)dS\)，\(m=\iint f(x,y,z)dS\)

被积分函数满足曲面方程

平面中

画图 + 代入

第一型曲线积分与方向无关，积分下限一定比上限小（从小到大）

直接法（干掉弧微分）：

\[1. 参数方程:\int_L f(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f[\phi(t),\psi(t)]\,\sqrt{x_t'^2+y_t'^2}\,dt\\ 2. 直角坐标:\int_L f(x,y)ds=\int_a^b f[x,y(x)]\,\sqrt{1+y_x'^2}\,dx\\ 3. 极坐标:\int_L f(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f[rcos\theta,rsin\theta]\,\sqrt{r^2+r_{\theta}'^2}\,d\theta\\ \]

技巧法：

  1. 积分区域对称：关于 \(x\) 轴对称则看 \(y\)，关于 \(y\) 轴对称则看 \(x\)
  2. 轮换对称性：关于 \(y=x\) 对称

空间中

直接法（参数方程）：

\[\bbox[SkyBlue]{ \int_\Gamma f(x,y,z)ds=\int_\alpha^\beta f[\phi(t),\psi(t),\omega(t)]\sqrt{(x_t')^2+(y_t')^2+(z_t')^2}\,dt } \]

技巧法：

  1. 积分区域对称：关于 \(xOy\) 面对称则看 \(z\)，关于 \(xOz\) 轴对称则看 \(y\)，关于 \(yOz\) 轴对称则看 \(x\)
  2. 轮换对称性：
    1. 看方程：调换\(x,y\)，方程不变
    2. 看图：调换\(x,y\)轴，图像不变

牛逼题：
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例题：

  1. image

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好题：
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第二型曲线积分（对坐标）

与方向有关

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定义：变力做功 \(W=\vec F\cdot\vec x\)

$ ,\vec F=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j,,,, \vec{dS}=dx\cdot\vec i+dy\cdot \vec j$

故\(dw=\vec F\cdot \vec{ds}=P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)

则\(w=\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)

直接法：参数方程回代

\[\int\{P[x(t),y(t)]{\color{Magenta}x'(t)}+Q[x(t),y(t)]{\color{Magenta}y'(t)}\}dt \]

例题：image

格林公式

大前提：

**1. 封闭曲线且正方向（左手始终在区域内） **

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2. P,Q具有一节连续偏导数（把两个偏导数算出来，没有无定义点）

\(\bbox[pink]{千万注意:dx前面的才是P}\)

内容：

\[\oint P\,dx+Q\,dy=\iint(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy \]

如何判断能否使用：

看\(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\)的二重积分好不好算

处理：补线 / 挖洞

例题1：
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例题2：
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例题3：
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好题：
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（未完待续）

十、无穷级数

1. 等比级数

等比级数敛散性只看公比

\[\lim_{n\rightarrow \infty}q^n= \begin{cases} \infty,& |q|>1\\ 0,&|q|<1\\ 讨论，& |q|=1 \end{cases} \]

\[\sum_{n=1}^\infty aq^n= \begin{cases} 发散, & |q|\geq 1\\ 收敛, & |q|<1 \end{cases} \]

注意起始下标

求和只能用定义来算

2. 收敛级数的基本性质

  1. \[\sum_{n=1}^\infty u_n与\sum_{n=1}^\infty u_n同敛散性(k\neq 0)\\ \]

  2. 收敛\(\pm\)收敛\(\rightarrow\) 收敛;
    收敛\(\pm\)发散$\rightarrow \(发散; 发散\)\pm\(发散\)\rightarrow$ 未知;

  3. 改变级数的前有限项，不改变级数的敛散性

  4. 若级数收敛，不改变各项次序任意加括号后仍收敛

    1. 原收敛，加括号后一定收敛
    2. 加括号后发散，原级数一定发散
    3. 加括号后收敛，原级数不一定收敛

  5. \[如果级数\sum_{n=1}^\infty u_n收敛，则\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0 \]

    1. \(\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0\)不一定能推出级数收敛

    2. \(\lim_{n\rightarrow \infty}u_n\neq0\rightarrow\)发散

3. 常数项级数审敛法

先看通项极限是否为0，不为0一定发散

常数项级数判定敛散性思路：

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正项级数

定义：\(\sum_{n = 1}^\infty u_n,(u_n>0)\)为正项级数，部分和为\(s_n\)，\(\{s_n\}\)是一个单调增加的数列

收敛的充要条件：部分和有上界

正项级数审敛法：

放大看收敛，缩小看发散

  1. 比较审敛法：大收敛则小收敛，小发散则大发散

  2. 极限形式：

    \[\sum_{n=1}^\infty u_n,\sum_{n=1}^\infty v_n为正项级数，\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_n}{v_n}=l:\\ 1. l=0且\sum_{n=1}^\infty v_n收敛时，\sum_{n=1}^\infty u_n收敛;\\ 2. l+\infty且\sum_{n=1}^\infty v_n发散时，\sum_{n=1}^\infty u_n发散;\\ 3. \,0<l<+\infty时,两个级数的敛散性相同 \]

例题（注意是充分条件，不能反推回来）：

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常见级数

\[1. \,p级数: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}= \begin{cases} 收敛,&当p> 1\\ 发散，&当p\leq 1 \end {cases}\\ 2. \,p级数拓展形式:\sum_{n=2}^\infty \frac1{nln^pn}= \begin{cases} 收敛,&当p> 1\\ 发散，&当p\leq 1 \end{cases}\\ 3. \,几何级数:\sum_{n=1}^\infty aq^{n-1}= \begin{cases} 收敛,&当|q|< 1\\ 发散，&当|q|\geq 1 \end{cases}\\ \]

调和级数发散

比值审敛法（达朗贝尔判别法）：

适用：含有\(a^n,n^n,n!\)

\[对于正项级数\sum_{n=1}^\infty u_n,若有\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho,则\\ 1. 当\rho<1时,级数收敛;0\\ 2. 当\rho > 1时,级数发散;\infty\\ 3. 当\rho=1时,级数敛散性不确定 \]

易错点

必须要能找到一个p严格\(0<p<1\)，趋近于也不行

适用：看到阶乘，可约

根值审敛法（柯西判别法）：

适用：只有\(a^n,n^n\)

\[对于正项级数\sum_{n=1}^\infty u_n,若有\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]u_n=\rho,则\\ 1. 当\rho<1时,级数收敛;0\\ 2. 当\rho > 1时,级数发散;\infty\\ 3. 当\rho=1时,级数敛散性不确定 \]

\(n^{1+\epsilon}\)

sin cos \(\rightarrow\) 放大

收敛半径

积分审敛法：

\[对于\sum_{n=1}^\infty u_n=\sum_{n=1}^\infty f(n)而言，满足:u_n=f(n)>0且f(x)递减,\\ 则\sum_{n=1}^\infty u_n=\sum_{n=1}^\infty f(n)与\int_1^{+\infty}f(x)dx敛散性相同 \]

正 趋向于0

性质：

求导之后收敛域会变小

求积分之后收敛域会变大

(减小系数之后会增加收敛的可能性)

交错级数（莱布尼茨判别法）：

极限为0，单调递减，正向数列

易错点：\(u_n>0\)必须满足

\[对于交错级数\sum_{n=1}^\infty (-1)^n u_n(u_n>0)而言,\\ 满足\lim_{n\rightarrow \infty}u_n = 0 且 \{u_n\}递减,则级数必收敛 \]

任意项级数

先看绝对值收不收敛，不收敛再看本身

若\(\sum_{n=1}^\infty |u_n|\)收敛，则\(\sum_{n=1}^\infty u_n\)收敛；

若\(\sum_{n=1}^\infty u_n\)收敛，则\(\sum_{n=1}^\infty |u_n|\)不一定收敛；

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经验：看到sin\(\rightarrow\)利用有界 or 等价

通用处理：加绝对值 or 利用加减性质

例题应用：
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4. 幂级数求和与展开

  1. 概览

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对于函数数列\(\{u_n(x)\}\)而言，\(u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...\)为函数项无穷级数

  1. 收敛点 $\rightarrow $ 收敛域、收敛区间、收敛半径\(R\)（收敛区间的一半长度）
  2. 发散点 \(\rightarrow\) 发散域
  3. 和函数（收敛才有）

域：要看端点的敛散性；区间：不看端点

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函数项级数收敛域求法

  1. \[\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}<1\rightarrow a < x < b\rightarrow 收敛区间 \]

  2. 判定\(x=1,x=b\)处的敛散性

  3. 写收敛域

求收敛半径

求幂级数收敛半径：缺项幂级数用法一，标准幂级数用法二

法一：直接求极限

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法二：系数作比

注：缺项幂级数（如\(\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n},\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n+1}\)）不可以用该方法

仅适用于标准幂级数（如\(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n,\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\)）

  1. \[\rho =\lim_{n\rightarrow \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| \]

  2. \[\begin{cases} 1. 0<\rho<+\infty & 则 R=\frac1\rho\\ 2. \rho=0 & 则R=+\infty\\ 3. \rho=+\infty & 则R=0\\ \end{cases} \]

  3. 当\(0<\rho<+\infty\)时，再判定\(x=\pm R\)处敛散性

幂级数及其收敛性

概念（以下为幂级数）：

\[\sum_{n=0}^\infty a_nx^n和\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \]

（有点像泰勒展开）

e.g.平移不改变性质：

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阿贝尔Abel 定理：

（都为开区间）

如果找到一点收敛，距离中心点相同位置内部一定收敛且为绝对收敛；

如果找到一点发散，距离中心点相同位置外部一定发散；

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条件收敛点是分界点

充分理解的好题：（分界点）

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幂级数运算：

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如何判角标：就看首项（先写一项再说）

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从0到x的变限积分

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关于首项从几开始，这是一个很严肃的问题：

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一些不得不关注的重要细节：

求导前后收敛半径不变，收敛区间不变，但是收敛域可能会改变（端点会变）

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幂级数展开

就是把泰勒公式写到无穷多项

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【必背】常见麦克劳林级数

\[\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n,\,\,\,-1<x<1\\ \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n,\,\,\,-1<x<1\\ e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}x^n,\,\,\,x\in R\\ ln(1+x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac1{n+1}x^{n+1},\,\,\,-1<x\leq 1\\ sinx=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac1{(2n+1)!}x^{2n+1},\,\,\,x\in R\\ cosx=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac1{(2n)!}x^{2n},\,\,\,x\in R \]

题型：将函数展开成某某的幂级数

方法：往这六种上面凑

然后常规展开即可

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例题：

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记得写范围！！

幂级数求和

和函数在收敛域范围内一定连续

展开的逆过程

角标变换：
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注：幂级数求和的形式x的前面的系数要么为1，要么为\((-1)^n\)

1. 先导后积

爆多 细节

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2. 看成别人的导

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三段论：

  1. 求收敛域
  2. 求和函数（用区间做）
  3. 检验端点值！！（闭区间才需要检验）
    1. 在s(x)处有定义，直接加上
    2. 无定义，求极限

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posted @ 2022-04-14 12:26  Sakana~  阅读(1613)  评论(7)  编辑  收藏  举报