高等数学总复习
杂项
1. 三角不等式
||x|−|y||≤|x±y|≤|x|+|y|
2. (ln|x|)′=1x
3.极限的一个结论
limn→∞n√an+bn+cn=max(a,b,c)(a,b,c>0)
limn→∞n√xn+xn+...+xn2=max(x,x2,...,xn2)(x>0)
4. 初等函数在定义区间内连续
连续函数加减乘除、复合 ——> 结果还是连续
5. 当x∈(0,π/2)时,tanx>x>sinx
6.伽马函数:∫+∞0xne−xdx=n!(n∈N+)
一、极限
0. 求极限总论:
处理准则:
-
定型:若为已定式,直接代入求解;若为未定式,见2;
-
四化:
- 非0代入
- 根式化简
- 无穷小 → 泰勒,洛必达,四则运算
- 幂指函数
-
必须要分左右极限来求的情况:
e∞,1∞;arctan∞;[x](x→Z);|x|;分段函数
不可局部代值,除非是非零因子
1. 按照考点划分
(0)重要极限
limn→∞n√n=1,limn→∞n√a=1limx→∞(1+1x)x=e
(1) 无穷小量
常见等价无穷小替换
和取低阶原则
关系定理
两种常见构造类型
- lnf(x),(f(x)→1)型:lnf(x)=ln[1+f(x)−1]∽f(x)−1
- fα(x)−1,(f(x)→1)型:[f(x)−1+1]α−1∽α[f(x)−1]
(2) 常见泰勒
展开原则:相消不为0且上下同阶
x→0
sinx=x−13!x3+15!x5+o(x5)arcsinx=x+13!x3+o(x3)cosx=1−12!x2+14!x4+o(x4)tanx=x+13x3+o(x3)arctanx=x−13x3+15x5+o(x7)ex=1+x+12!x2+13!x3+o(x3)ln(1+x)=x−12x2+13x3(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+o(x2)
常用:
x−sinx∽16x3x−arcsinx∽−16x3x−tanx∽−13x3x−arctanx∽13x3x−ln(1+x)∽12x2Tips:碰到cosx±1,利用cos2x=2cos2x−1消掉
(3)洛必达
(4) 四则运算
∃±∃→∃∃±不∃→不∃不∃±不∃→未知∃⋅不∃→未知不∃⋅不∃→未知
- 乘除法中的非0项可以先算
- ef−eg型:提后者
2. 数列极限
(1)定义
-
定义
limn→∞xn=A⇔∀σ>0,|xn−A|<E(∃N>0,当n>N时)
-
延伸

-
收敛 / 发散
limn→∞xn={A∃⇒{xn}收敛于AA不∃⇒{xn}发散
-
极限含义
存在N,其后所有数都接近A
(2)收敛数列的性质
(3)求极限
-
大前提
-
- 转化为函数(连续化处理)
-
-
夹逼准则
zn≤xn≤yn同一趋向时,zn和yn极限相同
常用放缩方法:
-
分子分母同阶时,放缩分母使得分子可加
-
A1,A2,...,An>0且M=max(A1,A2,...,An)时,M≤A1+A2+...+An≤nM
-
3.数列极限求和形式
(4)证极限
-
原理:单调有界必有极限, 方法:数学归纳法
-
在草稿纸上求出极限
-
验证 n = 1时成立
-
假设n = k时成立,证明n = k +1时也成立
-
证毕
3. 按极限类型划分
(1) 00
-
- 等价无穷小替换
-
- 洛必达
-
- 复杂函数用 泰勒公式 / 麦克劳林替换
(2) ∞∞
(3) ∞−∞
(4) 0⋅∞
-
转化为 00 或者 ∞∞
-
注:不要把 ln 或 反三角 放分母
(5) 1∞
- limuv=elimv(u−1),(u→1,v→∞)
(6)00、∞0
(7) 求无穷级数的极限
(8)求带积分线的极限
二、导数
1. 定义
-
瞬时变化率
f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx
-
增量定义
limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx
-
重要
f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0
2. 单侧导数
3. 可导与连续
-
常见易错
f(x) 在 x0处可导,则f′(x)在x0处连续 (错!,应该为f(x)在x0处连续)
若f′′(x0)∃,则f′(x)在x0处连续 √
若f′′(x0)∃,则f(x)在x0处连续 √
-
分段函数
分段点上用定义求
4. 求导
(1)必背导数表
(tanx)′=sec2x(cotx)′=−csc2x(secx)′=secxtanx(cscx)′=−cscxcotx(logax)′=1xlna(ax)′=axlna[ln(x+√x2+a2)]′=1√x2+a2[ln(x+√x2−a2)]′=1√x2−a2(arcsinx)′=1√1−x2(arccosx)′=−1√1−x2(arctanx)′=11+x2(arccotx)′=−11+x2
(2)反函数求导
(3)高阶导数
-
公式法(5条 + 莱布尼茨)
1.[1ax+b](n)=ann!(−1n)(ax+b)n+12.[ax](n)=ax(lna)n,[eax](n)=eaxan3.[sinx](n)=sin(x+n2π),[cosx](n)=cos(x+n2π)4.[xα](n)={0,n>αα(α−1)...(α−n+1)xα−nn≤α5.莱布尼茨:[AB](n)=C0nA(n)B+C1nA(n−1)B1+...+CnnAB(n)
-
泰勒展开
-
递归法
(4)参数方程
-
切方 (k为该点导数),法方 (垂直于切方)
-
极坐标与参数方程互化
x=r(θ)cosθ,y=r(θ)sinθr(θ)=√x2+y2
-
相切:f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)
5. 微分()
(1)含义
-
辨析:自变量:Δx=dx;因变量:Δy≠dy
-
y=f(x),若满足Δy=AΔx+O(Δx),Δx→0,则y=f(x)可微
其中,A就是微分dy,也叫线性主部
(2)几何意义
- 切线增量dy(直线),函数增量Δy(曲线) (Δx→0,Δy≈dy)
(3)导数的微分学应用
三、不定积分(记得+C)
1. 含义
2. 性质
∫f(x)dx=∫df(x)=f(x)+C∫d→+C,d∫→不加C
3. 原函数存在性
若∫f(x)dx存在:
- f(x)连续,则原函数必存在
- f(x)存在第一类 / 无穷间断点。则原函数必不存在
- 若f(x)有振荡间断点,则原函数可能存在
4. 求不定积分
(1)必背积分表
别漏了绝对值
∫tanxdx=−ln|cosx|+C∫cotxdx=ln|sinx|+C∫secxdx=ln|secx+tanx|+C∫cscxdx=ln|cscx−cotx|+C∫sec2xdx=tanx+C∫csc2xdx=−cotx+C∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=−cscx+C
∫1x2+a2dx=1aarctanxa+C∫1x2−a2dx=12aln|x−ax+a|+C∫1√a2−x2dx=arcsinxxa+C∫1√a2+x2dx=ln(x+√x2+a2)+C∫1√x2−a2dx=ln|x+√x2−a2|+C∫1a2sin2x+b2cos2xdx→1abarctanatanxb+C(同除cos2x)∫asinx+bcosxdsinx+ecosxdx→∫m分母+n分母′分母dx(配系数)
(2)ex 类
凑一个ex以便凑微分
eg.∫11+exdx=∫1+ex−ex1+exdx=x−ln(1+ex)+C
(3)三角函数类
-
模型题
-
必备转化公式
tan2x+1=sec2x,cot2x+1=csc2x
-
1碰cos,消
1+cosx=2cos2x2,cosx−1=−2sin2x2
-
次数:偶次降幂,奇次凑分(拿出一个)
(4)第二类换元积分法
(5)分部积分
-
规则:反对幂三指(谁在后谁入d)
-
技巧:乘法公式逆用
(6)有理函数积分
直接配的两类:
- ∫1Ax2+Bx+Ddx 配方,化成 1x2+a2
- ∫Ex+FAx2+Bx+Ddx 配凑:∫m分母′+n′分母dx
四、定积分
1. 定义
(1)计算型定义
面积:
limn→∞n∑i=1b−anf(a+b−ani)=∫baf(x)dx
(2)基本形式
1.limn→∞1nn∑i=1f(in)=∫10f(x)dx(右端点)2.limn→∞1nn∑i=1f(i−1n)=∫10f(x)dx(左端点)
2. 几何意义
(1)绝对面积
(2)半圆 椭圆
半圆:∫a0√a2−x2dx=14πa2椭圆:∫a0√ax−x2dx=π2(a2)2
椭圆(两点定直径):
x2+y2=ax过(0,0)和(a,0)x2+y2=bx过(0,0)和(0,b)
3. 定积分性质
(1)基本
定积分是一个数,与变量选取无关
(2)奇偶性
奇函数:∫a−af(x)dx=0偶函数:∫a−af(x)dx=2∫a0f(x)dx
(3)比较定理
积分线相同,被积函数不同,考比较定理
- 若f(x≤g(x))则∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx,(b>a)
- 只要有一个部分比你大,绝对比你大
- 仅需比较两个被积分函数的大小
(4)周期性
-
∫nT0f(x)dx=n∫T0f(x)dx
-
∫a+Taf(x)dx与u无关(只要积分线长度等于周期,就都相等)
(5)积分中值定理
若f(x)在[a,b]连续,则至少存在一个ξ∈[a,b]使∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a)
平均值:¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯f(x)=∫baf(x)dxb−a
只要积分变量字母不变,上下限范围所属关系不变
4. 求定积分
(1)华莱士公式(点火公式)
∫π20sinnxdx=∫π20cosnxdx={n−1nn−3n−2...12π2,n为偶n−1nn−3n−2...23,n为奇
1.∫π20sinnxdx=∫π20cosnxdx2.∫π0sinnxdx=2∫π20sinnxdx3.∫π0cosnxdx={2∫π20cosnxdx,n为偶0,n为奇4.∫2π0sinnxdx=∫2π0cosnxdx={4∫π20sinnxdx,n为偶 0,n为奇
(2)第二类换元积分法
-
基本原则:三换(换被积函数,换积分变量,换上下限)
-
轮换对称性:∫π20f(sinx,cosx)dx=∫π20f(cosx,sinx)dx (证明:令π2−x=t)
-
区间再现换元法: 令“上+下 – x = t ”
eg.∫baf(x)dx,令b+a−x=t则∫baf(x)dx=−∫abf(b+a−t)dt=∫baf(b+a−x)dx
来两个典例:
1.∫π0xf(sinx)dx=π2∫π0f(sinx)dx,2.求∫π0xsinx1+cos2xdx
5. 变限函数
F(x)=∫xaf(t)dt: x 是自变量,t是积分变量
(1)定理
- 若f(x)连续,且F(x)=∫+axf(t)dx,则F(x)必可导,且F′(x)=f(x),则F(x)为f(x)的一个原函数
- 若f(x)连续,则∫f(x)dx=∫x0f(t)dt+C
(2)求导法则
-
标准型:若f(x)连续,F(x)=∫β(x)α(x)f(t)dt
则 F′(x)=f[β(x)]β′(x)−f[α(x)]α′(x)(上进上导—下进下导)
-
非标准型:换元,把x当作常量
令x−t=u,则∫x0f(x−t)dt=∫0xf(u)d(x−u)=−∫0xf(u)du=∫x0f(u)du
6. 反常积分
(1)概念
有一端为∞ 或 存在瑕点(无定义点 且 该点极限为∞)
(2)计算
- 先找瑕点(奇点)(有瑕点一定要拆开来算)
- ∞型:正常算 +lim∞
- 四则运算
- 伽马函数
(3)敛散性判别
- 无穷区间的反常积分∫+∞1dxxp: 在p>1时收敛,在p≤1时发散
- 无界函数的反常积分∫10dxxp(p>0,奇点x=0): 在0<p<1时收敛,在p≥1时发散
7. 定积分应用
(1)物理

这图画了老半天
(2)极坐标
(3)面积 体积
- 面积
S1=∫ba[y2(x)−y1(x)]dx,S2=∫dc[x2(y)−x1(y)]dx
注:靠近正半轴的 – 远离正半轴的

小心正负!!
平面面积
旋转体体积

旋转曲面表面积
平面曲线的弧长

五、常微分方程
1. 基础
2. 齐次与非齐次的通解
齐次:c1齐 + c2齐 (c1,c2线性无关)
非齐次:c1齐 + c2齐 + 非齐次线性方程组的一个特解
转化:非齐次作差 → 齐次
3. 一阶
(1)可分离
dydx=f(x)g(x)
出现ln:+lnc1 (以便化简)
(2)齐次
dydx=f(yx)→令yx=u,则dydx=u+xdudx
(3)一阶非齐次线性
形式:y′+p(x)y=q(x)
公式:
y=e−∫p(x)dx[∫q(x)e∫f(x)dxdx+c]
(注:不必加绝对值)
助记(积分因子法):
-
先找到因子e∫p(x)dx,原方程两边同乘该因子,得
y′e∫p(x)dx+yp(x)e∫p(x)dx=q(x)e∫p(x)dx
-
观察易得,左半边为 [ye∫p(x)dx]′
-
两边同时积分就能解得 y
(4)伯努利
形式:y′+p(x)y=q(x)yn
做法:
-
一除:1yny+p(x)y1−n=q(x)
-
二换:令z=y1−n,则dzdx=dzdy⋅dydx=(1−n)y−ndydx
-
三回代:11−ndzdx+p(x)z=q(x)
最后化为一阶非齐次线性:dzdx+(1−n)p(x)z=(1−n)q(x)
4. 高阶
(1)二阶可降阶
- 不显 y,y′′=f(y′,x): 令 y′=p, 则y′′=dpdx
- 不显 x,y′′=f(y′,y): 令 y′=p, 则y′′=pdpdy
(2)二阶常系数线性
-
齐次
-
写特征方程:λ2+pλ+q=0
-
解特征值:λ1,λ2
-
写通解
⎧⎪⎨⎪⎩λ1≠λ2→c1eλ1x+c2eλ2xλ1=λ2→(c1+c2x)eλ1xλ1,2=α±βi→eαx[c1cosβx+c2sinβx]
-
非齐次
(3)欧拉
5. 叠加定理
六、中值定理
1. 索引
- 存在一个ξ使得等式成立
- $F(\xi)=0\rightarrow ∗∗零点定理∗∗\rightarrow F(x)$
- $F'(\xi)=0\rightarrow ∗∗罗尔定理∗∗\rightarrow $三步构造
- 证f(ξ)=A→介值定理+最值定理→m≤A≤M
- 同一函数做差→拉格朗日中值定理
- 两个不同函数做差→柯西中值定理
2. 闭区间连续函数性质
(1)有界定理
(2)最值定理
m,M
(3)介值定理
若f(x)在[a,b]连续,且m<A<M,则至少 ∃ξ∈[a,b]。使f(ξ)=A
平均数:f(ξ)=c1f(x1)+c2f(x2)+...+cnf(xn)c1+c2+...+cnf(ξ)=f(x1)+f(x2)+...+f(xn)x1+x2+...+xn,ξ∈[x1,xn]
(4)零点定理
若f(x)在[a,b]连续,且f(a)f(b)<0,则至少 ∃ξ∈a,b,使f(ξ)=0
3. 积分中值定理
去积分线
(1)使用
若f(x)在[a,b]连续,则至少 ∃ξ∈[a,b],使∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a)
平均数:¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯f(x)=∫baf(xdx)b−a
(2)证明
证明f(ξ)=∫baf(x)dxb−a:f(x)在[a,b]连续,则m≤f(x)≤M∴∫bamdx≤∫baf(x)dx≤∫baMdx∴m(b−a)≤f(b)−f(a)≤M(b−a)∴m≤f(b)−f(a)b−a≤M由介值定理得,必定∃ξ∈[a,b],使得f(ξ)=1b−a∫baf(x)dx∴∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a)
(3)广义积分中值定理
可使用拉格朗日中值定理推广至(a,b):
若f(x)在(a,b)连续,则至少 ∃ξ∈[a,b],使∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a)
原理:被积分函数连续,变限函数一定可导![image-20220423225106011]()
4. 微分中值定理
(1)费马引理
若f(x)在x0处取得极值,且f(x)在x0处可导,则f′(x0)=0
(2)罗尔定理
若f(x)在[a,b]连续,(a,b)可导,且f(a)=f(b),则∃ξ∈(a,b),f′(ξ)=0
找F(x)的万能法:
- ξ→x
- 找原函数:不定积分 / 微分方程
- c=F(x)=... (把c扔一边,另一边就是F(x)
(3)拉格朗日中值定理
用罗尔定理证得
若f(x)在[a,b]连续,(a,b)可导,则f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)
(4)柯西中值定理
若f(x)在[a,b]连续,(a,b)可导,且g′(x)≠0,则∃ξ∈(a,b),使得f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ),(a<ξ<b)
证明:

(5)泰勒定理
1.皮亚诺余项:f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+...+f(n)(x0)n!(x−x0)n+o[(x−x0)n]2.拉格朗日余项:f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+...+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1
特别的,当x0=0时有麦克劳林公式:
1.f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+...+f(n)(0)n!xn+o(xn)2.f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+...+f(n)(0)n!xn+f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1
七、多元函数微分学
八、多元函数积分学
1. 概念
(1)含义
绝对体积
V=limn→∞n∑i=1f(ξi,ηi)Δσi=∫∫Df(x,y)dσ
积分变量dσ=dxdy
取点 → 划线 → 投影 → 积分
(2)性质
∫∫D1dσ=SD
(3)比较定理
积分线相同,函数不同
若在 D 上f(x,y)≤g(x,y) 则有
∫∫Df(x,y)dσ≤∫∫Dg(x,y)dσ
(4)中值定理
f(x,y)在有界闭区域 D 上连续,至少存在一点(ξ,η)∈D,使得
∫∫Df(x,y)dσ=f(ξ,η)σ
2. 计算
(0)综合运用
画出积分区域,有对称性就用技巧法,没有就用直接法 (二者结合着用)
拆
分块区域
(1)直角坐标算二重积分
-
X 型:先积 x 后积 y
∫badx∫ϕ2(x)ϕ1(x)f(x,y)dy
-
Y 型:先积 y 后积 x
∫bady∫ϕ2(y)ϕ1(y)f(x,y)dx
(2)极坐标算二重积分
-
适用:积分区域是圆 或 被积分函数是:
f(x2+y2),f(axn+byncxn+dyn)(同比次方式)
-
公式:
∫βαdθ∫r(θ)0f(rcosθ,rsinθ)rdr
- 找 θ : 范围[α,β]
- 取 θ : 做射线,找边界方程 r(θ)
- 助记 :ds=dxdy=rdrdθ
(3)技巧法
适用抽象函数
a. 积分区域下的奇偶性
- 积分区域 D 关于 x 轴对称 → 看 y 函数( y 奇为0, y 偶为2倍)
- 积分区域 D 关于 y 轴对称 → 看 x 函数( x 奇为0, x 偶为2倍)
- 拆解,做辅助线
b. 轮换对称性
区域关于 y = x 对称
x y 互换,然后二者加起来
(5)综合练习:
-
求∬y[1+xe12(x2+y2)]dxdy,D由直线y=x,y=−1,x=1围成
-
求∬xsin(π√x2+y2)x+ydxdy,D={(x,y)|1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0}
-
求∬max(xy,1)dxdy,D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}
-
求∬|x2+y2−1|dxdy,D={(x,y)|0≤x≤1,0≤x≤1}
-
交换二次积分的积分次序:∫0−1dy∫1−y2f(x,y)dx
-
求∫20dx∫2xe−y2dy
-

-
把∫π20dθ∫cosθ0f(rcosθ,rsinθ)rdr转化成x型和y型
-
limt→0+∫t0dx∫xte−y2dytα=β≠0
解析:
-

-
轮换对称

-
分块积分

-
分块 灵活运用可加性

-
注意次序(小心正负号)

-
积不出来,交换次序

-
我又画错图了

-
极直转化

-

三重积分
先咕咕
曲面积分
平面类比二重积分;空间类比三重积分
线:ds,面:dS
对面积分的曲面积分计算法:
∬f(x,y,z)dS=∬f[x,y,z(x,y)]√1+x′2x+z′2ydxdy
z 解不出来 → 隐函数求导
第一型曲线积分
绝对值曲线画法:去绝对值 + 对称性
不均匀表面质量
面密度:ρ=f(x,y,z),dm=f(x,y,z)dS,m=∬f(x,y,z)dS
被积分函数满足曲面方程
平面中
画图 + 代入
第一型曲线积分与方向无关,积分下限一定比上限小(从小到大)
直接法(干掉弧微分):
1.参数方程:∫Lf(x,y)ds=∫βαf[ϕ(t),ψ(t)]√x′2t+y′2tdt2.直角坐标:∫Lf(x,y)ds=∫baf[x,y(x)]√1+y′2xdx3.极坐标:∫Lf(x,y)ds=∫βαf[rcosθ,rsinθ]√r2+r′2θdθ
技巧法:
- 积分区域对称:关于 x 轴对称则看 y,关于 y 轴对称则看 x
- 轮换对称性:关于 y=x 对称
空间中
直接法(参数方程):
∫Γf(x,y,z)ds=∫βαf[ϕ(t),ψ(t),ω(t)]√(x′t)2+(y′t)2+(z′t)2dt
技巧法:
- 积分区域对称:关于 xOy 面对称则看 z,关于 xOz 轴对称则看 y,关于 yOz 轴对称则看 x
- 轮换对称性:
- 看方程:调换x,y,方程不变
- 看图:调换x,y轴,图像不变
牛逼题:

例题:


好题:


第二型曲线积分(对坐标)
与方向有关

定义:变力做功 W=→F⋅→x
,→F=P(x,y)→i+Q(x,y)→j,,,,→dS=dx⋅→i+dy⋅→j
故dw=→F⋅→ds=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
则w=∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy
直接法:参数方程回代
∫{P[x(t),y(t)]x′(t)+Q[x(t),y(t)]y′(t)}dt
例题:
格林公式
大前提:
**1. 封闭曲线且正方向(左手始终在区域内) **

2. P,Q具有一节连续偏导数(把两个偏导数算出来,没有无定义点)
千万注意:dx前面的才是P
内容:
∮Pdx+Qdy=∬(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy
如何判断能否使用:
看∂Q∂x−∂P∂y的二重积分好不好算
处理:补线 / 挖洞
例题1:


例题2:

例题3:

好题:

(未完待续)
十、无穷级数
1. 等比级数
等比级数敛散性只看公比
limn→∞qn=⎧⎨⎩∞,|q|>10,|q|<1讨论,|q|=1
∞∑n=1aqn={发散,|q|≥1收敛,|q|<1
注意起始下标
求和只能用定义来算
2. 收敛级数的基本性质
-
∞∑n=1un与∞∑n=1un同敛散性(k≠0)
-
收敛±收敛→ 收敛;
收敛±发散$\rightarrow 发散;发散\pm发散\rightarrow$ 未知;
-
改变级数的前有限项,不改变级数的敛散性
-
若级数收敛,不改变各项次序任意加括号后仍收敛
- 原收敛,加括号后一定收敛
- 加括号后发散,原级数一定发散
- 加括号后收敛,原级数不一定收敛
-
如果级数∞∑n=1un收敛,则limn→∞un=0
-
limn→∞un=0不一定能推出级数收敛
-
limn→∞un≠0→发散
3. 常数项级数审敛法
先看通项极限是否为0,不为0一定发散
常数项级数判定敛散性思路:

正项级数
定义:∑∞n=1un,(un>0)为正项级数,部分和为sn,{sn}是一个单调增加的数列
收敛的充要条件:部分和有上界
正项级数审敛法:
放大看收敛,缩小看发散
-
比较审敛法:大收敛则小收敛,小发散则大发散
-
极限形式:
∞∑n=1un,∞∑n=1vn为正项级数,limn→∞unvn=l:1.l=0且∞∑n=1vn收敛时,∞∑n=1un收敛;2.l+∞且∞∑n=1vn发散时,∞∑n=1un发散;3.0<l<+∞时,两个级数的敛散性相同
例题(注意是充分条件,不能反推回来):

常见级数
1.p级数:∞∑n=11np={收敛,当p>1发散,当p≤12.p级数拓展形式:∞∑n=21nlnpn={收敛,当p>1发散,当p≤13.几何级数:∞∑n=1aqn−1={收敛,当|q|<1发散,当|q|≥1
调和级数发散
比值审敛法(达朗贝尔判别法):
适用:含有an,nn,n!
对于正项级数∞∑n=1un,若有limn→∞un+1un=ρ,则1.当ρ<1时,级数收敛;02.当ρ>1时,级数发散;∞3.当ρ=1时,级数敛散性不确定
易错点
必须要能找到一个p严格0<p<1,趋近于也不行
适用:看到阶乘,可约
根值审敛法(柯西判别法):
适用:只有an,nn
对于正项级数∞∑n=1un,若有limn→∞n√un=ρ,则1.当ρ<1时,级数收敛;02.当ρ>1时,级数发散;∞3.当ρ=1时,级数敛散性不确定
n1+ϵ
sin cos → 放大
收敛半径
积分审敛法:
对于∞∑n=1un=∞∑n=1f(n)而言,满足:un=f(n)>0且f(x)递减,则∞∑n=1un=∞∑n=1f(n)与∫+∞1f(x)dx敛散性相同
正 趋向于0
性质:
求导之后收敛域会变小
求积分之后收敛域会变大
(减小系数之后会增加收敛的可能性)
交错级数(莱布尼茨判别法):
极限为0,单调递减,正向数列
易错点:un>0必须满足
对于交错级数∞∑n=1(−1)nun(un>0)而言,满足limn→∞un=0且{un}递减,则级数必收敛
任意项级数
先看绝对值收不收敛,不收敛再看本身
若∑∞n=1|un|收敛,则∑∞n=1un收敛;
若∑∞n=1un收敛,则∑∞n=1|un|不一定收敛;

经验:看到sin→利用有界 or 等价
通用处理:加绝对值 or 利用加减性质
例题应用:

4. 幂级数求和与展开
- 概览

对于函数数列{un(x)}而言,u1(x)+u2(x)+...+un(x)+...为函数项无穷级数
- 收敛点 → 收敛域、收敛区间、收敛半径R(收敛区间的一半长度)
- 发散点 → 发散域
- 和函数(收敛才有)
域:要看端点的敛散性;区间:不看端点

函数项级数收敛域求法
-
limn→∞un+1(x)un(x)<1→a<x<b→收敛区间
-
判定x=1,x=b处的敛散性
-
写收敛域
求收敛半径
求幂级数收敛半径:缺项幂级数用法一,标准幂级数用法二
法一:直接求极限

法二:系数作比
注:缺项幂级数(如∑∞n=0anx2n,∑∞n=0anx2n+1)不可以用该方法
仅适用于标准幂级数(如∑∞n=0anxn,∑∞n=0an(x−x0)n)
-
ρ=limn→∞|an+1an|
-
⎧⎪⎨⎪⎩1.0<ρ<+∞则R=1ρ2.ρ=0则R=+∞3.ρ=+∞则R=0
-
当0<ρ<+∞时,再判定x=±R处敛散性
幂级数及其收敛性
概念(以下为幂级数):
∞∑n=0anxn和∞∑n=0an(x−x0)n
(有点像泰勒展开)
e.g.平移不改变性质:

阿贝尔Abel 定理:
(都为开区间)
如果找到一点收敛,距离中心点相同位置内部一定收敛且为绝对收敛;
如果找到一点发散,距离中心点相同位置外部一定发散;

条件收敛点是分界点
充分理解的好题:(分界点)

幂级数运算:

如何判角标:就看首项(先写一项再说)

从0到x的变限积分

关于首项从几开始,这是一个很严肃的问题:

一些不得不关注的重要细节:
求导前后收敛半径不变,收敛区间不变,但是收敛域可能会改变(端点会变)

幂级数展开
就是把泰勒公式写到无穷多项

【必背】常见麦克劳林级数
11−x=∞∑n=0xn,−1<x<111+x=∞∑n=0(−1)nxn,−1<x<1ex=∞∑n=01n!xn,x∈Rln(1+x)=∞∑n=0(−1)n1n+1xn+1,−1<x≤1sinx=∞∑n=0(−1)n1(2n+1)!x2n+1,x∈Rcosx=∞∑n=0(−1)n1(2n)!x2n,x∈R
题型:将函数展开成某某的幂级数
方法:往这六种上面凑
然后常规展开即可

例题:

记得写范围!!
幂级数求和
和函数在收敛域范围内一定连续
展开的逆过程
角标变换:

注:幂级数求和的形式x的前面的系数要么为1,要么为(−1)n
1. 先导后积
爆多 细节

2. 看成别人的导

三段论:
- 求收敛域
- 求和函数(用区间做)
- 检验端点值!!(闭区间才需要检验)
- 在s(x)处有定义,直接加上
- 无定义,求极限

