【高等数学】高等数学总复习

高等数学总复习

杂项

1. 三角不等式

||x||y|||x±y||x|+|y|

2. (ln|x|)=1x

3.极限的一个结论

limnan+bn+cnn=max(a,b,c)(a,b,c>0)

limnxn+xn+...+xn2n=max(x,x2,...,xn2)(x>0)

4. 初等函数在定义区间内连续

连续函数加减乘除、复合 ——> 结果还是连续

5. x(0,π/2)tanx>x>sinx

6.伽马函数:0+xnexdx=n!(nN+)

一、极限

0. 求极限总论:

处理准则:

  1. 定型:若为已定式,直接代入求解;若为未定式,见2;

  2. 四化:

    1. 非0代入
    2. 根式化简
    3. 无穷小 泰勒,洛必达,四则运算
    4. 幂指函数
  3. 必须要分左右极限来求的情况:

    e,1;arctan;[x](xZ);|x|;

不可局部代值,除非是非零因子

1. 按照考点划分

(0)重要极限

limnnn=1,limnan=1limx(1+1x)x=e

(1) 无穷小量

常见等价无穷小替换
和取低阶原则
  • x+α(x)x
关系定理
  • limnf(x)=af(x)=a+α(αx)

两种常见构造类型
  • lnf(x),(f(x)1)型:lnf(x)=ln[1+f(x)1]f(x)1
  • fα(x)1,(f(x)1)型:[f(x)1+1]α1α[f(x)1]

(2) 常见泰勒

展开原则:相消不为0且上下同阶

x0

sinx=x13!x3+15!x5+o(x5)arcsinx=x+13!x3+o(x3)cosx=112!x2+14!x4+o(x4)tanx=x+13x3+o(x3)arctanx=x13x3+15x5+o(x7)ex=1+x+12!x2+13!x3+o(x3)ln(1+x)=x12x2+13x3(1+x)α=1+αx+α(α1)2!x2+o(x2)

常用:

xsinx16x3xarcsinx16x3xtanx13x3xarctanx13x3xln(1+x)12x2Tips:cosx±1cos2x=2cos2x1

(3)洛必达

  • 注意使用条件。洛完结果不唯一就不能洛

(4) 四则运算

±±±

  • 乘除法中的非0项可以先算
  • efeg型:提后者

2. 数列极限

(1)定义

  • 定义

    limnxn=Aσ>0,|xnA|<EN>0,n>N

  • 延伸

    image

  • 收敛 / 发散

    limnxn={A{xn}AA{xn}

  • 极限含义

    存在N,其后所有数都接近A

(2)收敛数列的性质

  • 收敛一定有界,有界不一定收敛

  • 保号性:(要注意是后面才保号,前面无关)

    limnxn>0,nxn>0

(3)求极限

  • 大前提

    • 不可导(不连续)

    • 不能往0跑

    1. 转化为函数(连续化处理)
    1. 夹逼准则

      znxnynznyn

      常用放缩方法:

      1. 分子分母同阶时,放缩分母使得分子可加

      2. A1,A2,...,An>0M=max(A1,A2,...,An)MA1+A2+...+AnnM

  • 3.数列极限求和形式

    • 利用不定积分的计算型定义

(4)证极限

  • 原理:单调有界必有极限方法:数学归纳法

    1. 在草稿纸上求出极限

    2. 验证 n = 1时成立

    3. 假设n = k时成立,证明n = k +1时也成立

    4. 证毕

3. 按极限类型划分

(1) 00

    1. 等价无穷小替换
    1. 洛必达
    1. 复杂函数用 泰勒公式 / 麦克劳林替换

(2)

  • 抓大头;上下同除最大项;洛必达

(3)

  • 有分母:通分

  • 无分母:分子有理化,倒代换

(4) 0·

  • 转化为 00 或者

  • 注:不要把 ln 或 反三角 放分母

(5) 1

  • limuv=elimv(u1),(u1,v)

(6)000

  • 用对数恒等式,把指数放下来

  • 不要忘了 e !!!

(7) 求无穷级数的极限

  • 由部分推整体
  • 与等差等比,定积分等结合

(8)求带积分线的极限

  • 洛必达
  • 积分中值定理
  • 放缩然后夹逼 (比较定理)

二、导数

1. 定义

  • 瞬时变化率

    f(x0)=limΔx0ΔyΔx

  • 增量定义

    limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx

  • 重要

    f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0

2. 单侧导数

  • f+(x0)=limxx0+f(x)f(x0)xx0f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0

  • 重要性质:不可导的绝对值函数|xx0|乘上可导(连续)函数之后变可导

3. 可导与连续

  • 常见易错

    f(x)x0处可导,则f(x)x0处连续 (错!,应该为f(x)x0处连续)

    f(x0),则f(x)x0处连续 √

    f(x0),则f(x)x0处连续 √

  • 分段函数

    分段点上用定义求

4. 求导

(1)必背导数表

(tanx)=sec2x(cotx)=csc2x(secx)=secxtanx(cscx)=cscxcotx(logax)=1xlna(ax)=axlna[ln(x+x2+a2)]=1x2+a2[ln(x+x2a2)]=1x2a2(arcsinx)=11x2(arccosx)=11x2(arctanx)=11+x2(arccotx)=11+x2

(2)反函数求导

  • 一阶

    dxdy=1f(x)

  • 二阶

    d2xdy2=f(x)[f(x)]3

(3)高阶导数

  • 公式法(5条 + 莱布尼茨)

    1.[1ax+b](n)=ann!(1n)(ax+b)n+12.[ax](n)=ax(lna)n,[eax](n)=eaxan3.[sinx](n)=sin(x+n2π),[cosx](n)=cos(x+n2π)4.[xα](n)={0,n>αα(α1)...(αn+1)xαnnα5.[AB](n)=Cn0A(n)B+Cn1A(n1)B1+...+CnnAB(n)

  • 泰勒展开

  • 递归法

(4)参数方程

  • 切方 (k为该点导数),法方 (垂直于切方)

  • 极坐标与参数方程互化

    x=r(θ)cosθ,y=r(θ)sinθr(θ)=x2+y2

  • 相切:f(x0)=g(x0)f(x0)=g(x0)

5. 微分()

(1)含义

  • 辨析::Δx=dx;:Δydy

  • y=f(x),Δy=AΔx+O(Δx),Δx0y=f(x)

    其中,A就是微分dy,也叫线性主部

(2)几何意义

  • 切线增量dy(直线),函数增量Δy(曲线) (Δx0,Δydy

(3)导数的微分学应用

  • 规范答案书写

    拐点要写点坐标之外,间断点、极值点、极值、驻点等都填值

  • 单调性

    一点导数正负性不决定邻域内单调性,除非导数连续

    • 单调性误区

      单点f(x0)不能证明增减

      1. f(x0)>0,无法判断f(x)x0邻域内的单调性
      2. f(x0)>0f(x0)x0处连续,则断f(x)x0邻域内单增
    • 单调性的破题方法

      F(x)F(x)F(x)... : 找上一级为0的点

      • 6种常见构造方法

      1.f(x)f(x)12[f2(x)]2.f(x)f(x)[lnf(x)]3.f(x)g(x)+f(x)g(x)[f(x)g(x)]4.f(x)g(x)f(x)g(x)[f(x)g(x)]5.f(x)+f(x)[exf(x)]6.f(x)f(x)[exf(x)]

  • 函数极值

    • 定义:邻域(左右都有)

    • 可疑点:1. 驻点f(x0)=0 2. f(x0)不存在

    • 第一充分条件:若f(x)x0处连续,且f(x)x0去心邻域两侧异号

    • 第二充分条件:若f(x0)=0f(x0)0 (>0取极小,<0取极大)

  • 函数最值

    • 连续的函数中,唯一极值点就是最值点
    • 求解步骤:1. 求(a, b)内极值 2. 求f(a) f(b) 3. 比较
  • 函数凹凸性

    • 判定:$\forall x \in I,f''(x)>0\rightarrow \forall x \in I,f''(x)<0\rightarrow $凹

    • 定义:(凹函数)割线高于曲线;(凸函数)割线低于曲线

    • 拐点

      • 定义:凹凸线发生改变的点

      • 可疑点:1. f(x0)=0 2. f(x0)不存在

      • 第一充分条件:f(x0)两侧异号

      • 第二充分条件:f(x0)=0f(x0)0

  • 求渐近线(先垂直后水平最后斜

    • 垂直:1. 找无定义点x0 2. limxx0f(x)=

    • 水平:limxf(x)=A (x+/)相同拆开,不同合并

    • 斜:

      a=limxf(x)x,b=limx[f(x)ax]

  • 曲率圆

    • 曲率半径R,曲率k=1R,k越大, 越弯

    • k=|y|[1+y2]32,k>0

三、不定积分(记得+C)

1. 含义

  • 凑即积

2. 性质

f(x)dx=df(x)=f(x)+Cd+C,dC

3. 原函数存在性

f(x)dx存在:

  1. f(x)连续,则原函数必存在
  2. f(x)存在第一类 / 无穷间断点。则原函数必不存在
  3. f(x)有振荡间断点,则原函数可能存在

4. 求不定积分

(1)必背积分表

别漏了绝对值

tanxdx=ln|cosx|+Ccotxdx=ln|sinx|+Csecxdx=ln|secx+tanx|+Ccscxdx=ln|cscxcotx|+Csec2xdx=tanx+Ccsc2xdx=cotx+Csecxtanxdx=secx+Ccscxcotxdx=cscx+C

1x2+a2dx=1aarctanxa+C1x2a2dx=12aln|xax+a|+C1a2x2dx=arcsinxxa+C1a2+x2dx=ln(x+x2+a2)+C1x2a2dx=ln|x+x2a2|+C1a2sin2x+b2cos2xdx1abarctanatanxb+C(cos2x)asinx+bcosxdsinx+ecosxdxm+ndx()

(2)ex

凑一个ex以便凑微分

eg.11+exdx=1+exex1+exdx=xln(1+ex)+C

(3)三角函数类

  • 模型题

  • 必备转化公式

    tan2x+1=sec2x,cot2x+1=csc2x

  • 1碰cos,消

    1+cosx=2cos2x2,cosx1=2sin2x2

  • 次数:偶次降幂,奇次凑分(拿出一个)

(4)第二类换元积分法

  • 注:d x 也要换,别忘了代回

  • 三角代换

  • a2x2x=asinta2+x2x=atantx2a2x=asect

    换回方法:画一个三角形,用a x 表示三条边

  • 无理根式换元

    t=ax+bnax+bcx+dn

(5)分部积分

  • 规则:反对幂三指(谁在后谁入d)

  • 技巧:乘法公式逆用

(6)有理函数积分

直接配的两类:

  1. 1Ax2+Bx+Ddx 配方,化成 1x2+a2
  2. Ex+FAx2+Bx+Ddx 配凑:m+ndx
  • 假分式化真分式

  • 拆分(分母必须要化简到最简形式再拆分

    • 括号外决定项数

    • 分子写比分母低一次的多项式

      • 有括号(比括号低一次)

      • 无括号(比分母低一次)

    • 括号内看次方项

    eg.1(x+2)3(x2+x+1)2=Ax+2+B(x+2)2+D(x+2)3+Ex+Fx2+x+1+Gx+H(x2+x+1)2

四、定积分

1. 定义

(1)计算型定义

面积:

limni=1nbanf(a+bani)=abf(x)dx

(2)基本形式

1.limn1ni=1nf(in)=01f(x)dx()2.limn1ni=1nf(i1n)=01f(x)dx()

  • 可用于数列极限求和:1. 和 2. 提 3. 找项

  • 拓展:分为2n份(n2n

2. 几何意义

(1)绝对面积

(2)半圆 椭圆

:0aa2x2dx=14πa2:0aaxx2dx=π2(a2)2

椭圆(两点定直径):

x2+y2=ax(0,0)(a,0)x2+y2=bx(0,0)(0,b)

3. 定积分性质

(1)基本

定积分是一个数,与变量选取无关

(2)奇偶性

:aaf(x)dx=0:aaf(x)dx=20af(x)dx

(3)比较定理

积分线相同,被积函数不同,考比较定理

  1. f(xg(x))abf(x)dxabg(x)dx,(b>a)
  2. 只要有一个部分比你大,绝对比你大
  3. 仅需比较两个被积分函数的大小

(4)周期性

  1. 0nTf(x)dx=n0Tf(x)dx

  2. aa+Tf(x)dxu无关(只要积分线长度等于周期,就都相等)

(5)积分中值定理

f(x)[a,b]连续,则至少存在一个ξ[a,b]使abf(x)dx=f(ξ)(ba)

平均值:f(x)¯=abf(x)dxba

只要积分变量字母不变,上下限范围所属关系不变

4. 求定积分

(1)华莱士公式(点火公式)

0π2sinnxdx=0π2cosnxdx={n1nn3n2...12π2,nn1nn3n2...23,n

1.0π2sinnxdx=0π2cosnxdx2.0πsinnxdx=20π2sinnxdx3.0πcosnxdx={20π2cosnxdx,n0,n4.02πsinnxdx=02πcosnxdx={40π2sinnxdx,n 0,n

(2)第二类换元积分法

  • 基本原则:三换(换被积函数,换积分变量,换上下限

  • 轮换对称性:0π2f(sinx,cosx)dx=0π2f(cosx,sinx)dx (证明:令π2x=t

  • 区间再现换元法: 令“上+下 – x = t ”

    eg.abf(x)dx,b+ax=tabf(x)dx=baf(b+at)dt=abf(b+ax)dx

    来两个典例:

    1.0πxf(sinx)dx=π20πf(sinx)dx,2.0πxsinx1+cos2xdx

5. 变限函数

F(x)=axf(t)dt: x 是自变量,t是积分变量

(1)定理

  1. f(x)连续,且F(x)=+axf(t)dx,则F(x)必可导,且F(x)=f(x),则F(x)f(x)的一个原函数
  2. f(x)连续,则f(x)dx=0xf(t)dt+C

(2)求导法则

  • 标准型:若f(x)连续,F(x)=α(x)β(x)f(t)dt

    F(x)=f[β(x)]β(x)f[α(x)]α(x)(上进上导—下进下导)

  • 非标准型:换元,把x当作常量

    xt=u,0xf(xt)dt=x0f(u)d(xu)=x0f(u)du=0xf(u)du

6. 反常积分

(1)概念

有一端为 或 存在瑕点(无定义点 且 该点极限为

(2)计算

  • 先找瑕点(奇点)(有瑕点一定要拆开来算)
  • 型:正常算 +lim
  • 四则运算
  • 伽马函数

(3)敛散性判别

  1. 无穷区间的反常积分1+dxxp:p>1时收敛,在p1时发散
  2. 无界函数的反常积分01dxxp(p>0,x=0):0<p<1时收敛,在p1时发散

7. 定积分应用

(1)物理

  • 变力做功问题:W=abF(x)dx

  • 水下压强:F=0bρgaxdx

image
这图画了老半天

(2)极坐标

  • 定义

  • 极直转换:x=rcosθ,y=rsinθ

  • 常见平面极坐标曲线

    • 心形线

    image

    • 双扭线:(x2+y2)2=a2(x2y2)image

    • 阿基米德螺线image

    • 玫瑰线image

(3)面积 体积

  1. 面积

    S1=ab[y2(x)y1(x)]dx,S2=cd[x2(y)x1(y)]dx

    注:靠近正半轴的 – 远离正半轴的

小心正负!!
平面面积
  • 极坐标

  • 参数方程

旋转体体积

image

  • x 轴

  • y 轴

  • x = c

旋转曲面表面积
平面曲线的弧长

image

  • 弧微分

五、常微分方程

1. 基础

  • 概念

    c 的个数就是阶数

  • 一阶微分方程判定思路

    dydx=...f(x)g(x)f(yx)(){1.线2.

2. 齐次与非齐次的通解

齐次:c1齐 + c2齐 (c1,c2线性无关)

非齐次:c1齐 + c2齐 + 非齐次线性方程组的一个特解

转化:非齐次作差 齐次

3. 一阶

(1)可分离

dydx=f(x)g(x)

出现ln+lnc1 (以便化简)

(2)齐次

dydx=f(yx)yx=u,dydx=u+xdudx

(3)一阶非齐次线性

形式:y+p(x)y=q(x)

公式:

y=ep(x)dx[q(x)ef(x)dxdx+c]

(注:不必加绝对值)

助记(积分因子法):

  1. 先找到因子ep(x)dx,原方程两边同乘该因子,得

    yep(x)dx+yp(x)ep(x)dx=q(x)ep(x)dx

  2. 观察易得,左半边为 [yep(x)dx]

  3. 两边同时积分就能解得 y

(4)伯努利

形式:y+p(x)y=q(x)yn

做法:

  1. 一除:1yny+p(x)y1n=q(x)

  2. 二换:令z=y1n,则dzdx=dzdydydx=(1n)yndydx

  3. 三回代:11ndzdx+p(x)z=q(x)

    最后化为一阶非齐次线性:dzdx+(1n)p(x)z=(1n)q(x)

4. 高阶

(1)二阶可降阶

  1. 不显 y,y=f(y,x): y=p,y=dpdx
  2. 不显 x,y=f(y,y): y=p,y=pdpdy

(2)二阶常系数线性

  1. 齐次

    1. 写特征方程:λ2+pλ+q=0

    2. 解特征值:λ1,λ2

    3. 写通解

      {λ1λ2c1eλ1x+c2eλ2xλ1=λ2(c1+c2x)eλ1xλ1,2=α±βieαx[c1cosβx+c2sinβx]

  2. 非齐次

(3)欧拉

5. 叠加定理

六、中值定理

1. 索引

  1. 存在一个ξ使得等式成立
    1. $F(\xi)=0\rightarrow \rightarrow F(x)$
    2. $F'(\xi)=0\rightarrow \rightarrow $三步构造
  2. f(ξ)=A介值定理+最值定理mAM
  3. 同一函数做差拉格朗日中值定理
  4. 两个不同函数做差柯西中值定理

2. 闭区间连续函数性质

(1)有界定理

(2)最值定理

m,M

(3)介值定理

f(x)[a,b]连续,且m<A<M,则至少 ξ[a,b]。使f(ξ)=A

f(ξ)=c1f(x1)+c2f(x2)+...+cnf(xn)c1+c2+...+cnf(ξ)=f(x1)+f(x2)+...+f(xn)x1+x2+...+xn,ξ[x1,xn]

(4)零点定理

f(x)[a,b]连续,且f(a)f(b)<0,则至少 ξa,b,使f(ξ)=0

3. 积分中值定理

去积分线

(1)使用

f(x)[a,b]连续,则至少 ξ[a,b],使abf(x)dx=f(ξ)(ba)

f(x)¯=abf(xdx)ba

(2)证明

f(ξ)=abf(x)dxba:f(x)[a,b]mf(x)Mabmdxabf(x)dxabMdxm(ba)f(b)f(a)M(ba)mf(b)f(a)baMξ[a,b],使f(ξ)=1baabf(x)dxabf(x)dx=f(ξ)(ba)

(3)广义积分中值定理

可使用拉格朗日中值定理推广至(a,b)

f(x)(a,b)连续,则至少 ξ[a,b],使abf(x)dx=f(ξ)(ba)

原理:被积分函数连续,变限函数一定可导image-20220423225106011

4. 微分中值定理

(1)费马引理

f(x)x0处取得极值,且f(x)x0处可导,则f(x0)=0

(2)罗尔定理

f(x)[a,b]连续,(a,b)可导,且f(a)=f(b),则ξ(a,b),f(ξ)=0

F(x)的万能法:

  1. ξx
  2. 找原函数:不定积分 / 微分方程
  3. c=F(x)=... (把c扔一边,另一边就是F(x)

(3)拉格朗日中值定理

用罗尔定理证得

f(x)[a,b](a,b)f(b)f(a)ba=f(ξ)

(4)柯西中值定理

f(x)[a,b](a,b)g(x)0ξ(a,b),使f(b)f(a)g(b)g(a)=f(ξ)g(ξ),(a<ξ<b)

证明:

image

(5)泰勒定理

1.f(x)=f(x0)+f(x0)1!(xx0)+...+f(n)(x0)n!(xx0)n+o[(xx0)n]2.f(x)=f(x0)+f(x0)1!(xx0)+...+f(n)(x0)n!(xx0)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1

特别的,当x0=0时有麦克劳林公式:

1.f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)2!x2+...+f(n)(0)n!xn+o(xn)2.f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)2!x2+...+f(n)(0)n!xn+f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1

七、多元函数微分学

八、多元函数积分学

1. 概念

(1)含义

绝对体积

V=limni=1nf(ξi,ηi)Δσi=Df(x,y)dσ

积分变量dσ=dxdy

取点 划线 投影 积分

(2)性质

D1dσ=SD

(3)比较定理

积分线相同,函数不同

若在 D 上f(x,y)g(x,y) 则有

Df(x,y)dσDg(x,y)dσ

(4)中值定理

f(x,y)在有界闭区域 D 上连续,至少存在一点(ξ,η)D,使得

Df(x,y)dσ=f(ξ,η)σ

2. 计算

(0)综合运用

画出积分区域,有对称性就用技巧法,没有就用直接法 (二者结合着用)

分块区域

(1)直角坐标算二重积分

  1. X 型:先积 x 后积 y

    abdxϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy

  2. Y 型:先积 y 后积 x

    abdyϕ1(y)ϕ2(y)f(x,y)dx

(2)极坐标算二重积分

  1. 适用:积分区域是 或 被积分函数是:

    f(x2+y2),f(axn+byncxn+dyn)

  2. 公式:

    αβdθ0r(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr

    1. θ : 范围[α,β]
    2. θ : 做射线,找边界方程 r(θ)
    3. 助记 :ds=dxdy=rdrdθ

(3)技巧法

适用抽象函数

a. 积分区域下的奇偶性
  1. 积分区域 D 关于 x 轴对称 看 y 函数( y 奇为0, y 偶为2倍)
  2. 积分区域 D 关于 y 轴对称 看 x 函数( x 奇为0, x 偶为2倍)
  3. 拆解,做辅助线
b. 轮换对称性

区域关于 y = x 对称

x y 互换,然后二者加起来

(5)综合练习:

  1. y[1+xe12(x2+y2)]dxdy,D线y=x,y=1,x=1

  2. xsin(πx2+y2)x+ydxdy,D={(x,y)|1x2+y24,x0,y0}

  3. max(xy,1)dxdy,D={(x,y)|0x2,0y2}

  4. |x2+y21|dxdy,D={(x,y)|0x1,0x1}

  5. 10dy21yf(x,y)dx

  6. 02dxx2ey2dy

  7. image

  8. 0π2dθ0cosθf(rcosθ,rsinθ)rdrxy

  9. limt0+0tdxtxey2dytα=β0

解析:

  1. image

  2. 轮换对称
    image

  3. 分块积分
    image

  4. 分块 灵活运用可加性
    image

  5. 注意次序(小心正负号)
    image

  6. 积不出来,交换次序
    image

  7. 我又画错图了
    image

  8. 极直转化
    image

  9. image

三重积分

先咕咕

曲面积分

平面类比二重积分;空间类比三重积分

线:ds,面:dS

对面积分的曲面积分计算法:

f(x,y,z)dS=f[x,y,z(x,y)]1+xx2+zy2dxdy

z 解不出来 隐函数求导

第一型曲线积分

绝对值曲线画法:去绝对值 + 对称性

不均匀表面质量

面密度:ρ=f(x,y,z)dm=f(x,y,z)dSm=f(x,y,z)dS

被积分函数满足曲面方程

平面中

画图 + 代入

第一型曲线积分与方向无关,积分下限一定比上限小(从小到大)

直接法(干掉弧微分):

1.:Lf(x,y)ds=αβf[ϕ(t),ψ(t)]xt2+yt2dt2.:Lf(x,y)ds=abf[x,y(x)]1+yx2dx3.:Lf(x,y)ds=αβf[rcosθ,rsinθ]r2+rθ2dθ

技巧法:

  1. 积分区域对称:关于 x 轴对称则看 y,关于 y 轴对称则看 x
  2. 轮换对称性:关于 y=x 对称

空间中

直接法(参数方程):

Γf(x,y,z)ds=αβf[ϕ(t),ψ(t),ω(t)](xt)2+(yt)2+(zt)2dt

技巧法:

  1. 积分区域对称:关于 xOy 面对称则看 z,关于 xOz 轴对称则看 y,关于 yOz 轴对称则看 x
  2. 轮换对称性:
    1. 看方程:调换x,y,方程不变
    2. 看图:调换x,y轴,图像不变

牛逼题:
image

例题:

  1. image

image

好题:
image
image

第二型曲线积分(对坐标)

与方向有关

image

定义:变力做功 W=Fx

,F=P(x,y)i+Q(x,y)j,,,,dS=dxi+dyj

dw=Fds=P(x,y)dx+Q(x,y)dy

w=LP(x,y)dx+Q(x,y)dy

直接法:参数方程回代

{P[x(t),y(t)]x(t)+Q[x(t),y(t)]y(t)}dt

例题:image

格林公式

大前提:

**1. 封闭曲线且正方向(左手始终在区域内) **

image

2. P,Q具有一节连续偏导数(把两个偏导数算出来,没有无定义点)

:dxP

内容:

Pdx+Qdy=(QxPy)dxdy

如何判断能否使用:

QxPy的二重积分好不好算

处理:补线 / 挖洞

例题1:
image
image

例题2:
image

例题3:
image

好题:
image

(未完待续)

十、无穷级数

1. 等比级数

等比级数敛散性只看公比

limnqn={,|q|>10,|q|<1|q|=1

n=1aqn={,|q|1,|q|<1

注意起始下标

求和只能用定义来算

2. 收敛级数的基本性质

  1. n=1unn=1un(k0)

  2. 收敛±收敛 收敛;
    收敛±发散$\rightarrow ;\pm\rightarrow$ 未知;

  3. 改变级数的前有限项,不改变级数的敛散性

  4. 若级数收敛,不改变各项次序任意加括号后仍收敛

    1. 原收敛,加括号后一定收敛
    2. 加括号后发散,原级数一定发散
    3. 加括号后收敛,原级数不一定收敛
  5. n=1unlimnun=0

    1. limnun=0不一定能推出级数收敛

    2. limnun0发散

3. 常数项级数审敛法

先看通项极限是否为0,不为0一定发散

常数项级数判定敛散性思路:

image

正项级数

定义:n=1un,(un>0)为正项级数,部分和为sn{sn}是一个单调增加的数列

收敛的充要条件:部分和有上界

正项级数审敛法:

放大看收敛,缩小看发散

  1. 比较审敛法:大收敛则小收敛,小发散则大发散

  2. 极限形式:

    n=1un,n=1vnlimnunvn=l:1.l=0n=1vnn=1un;2.l+n=1vnn=1un;3.0<l<+,

例题(注意是充分条件,不能反推回来):

image

常见级数

1.p:n=11np={,p>1p12.p:n=21nlnpn={,p>1p13.:n=1aqn1={,|q|<1|q|1

调和级数发散

比值审敛法(达朗贝尔判别法):

适用:含有an,nn,n!

n=1un,limnun+1un=ρ,1.ρ<1,;02.ρ>1,;3.ρ=1,

易错点

必须要能找到一个p严格0<p<1,趋近于也不行

适用:看到阶乘,可约

根值审敛法(柯西判别法):

适用:只有an,nn

n=1un,limnunn=ρ,1.ρ<1,;02.ρ>1,;3.ρ=1,

n1+ϵ

sin cos 放大

收敛半径

积分审敛法:

n=1un=n=1f(n):un=f(n)>0f(x),n=1un=n=1f(n)1+f(x)dx

正 趋向于0

性质:

求导之后收敛域会变小

求积分之后收敛域会变大

(减小系数之后会增加收敛的可能性)

交错级数(莱布尼茨判别法):

极限为0,单调递减,正向数列

易错点:un>0必须满足

n=1(1)nun(un>0),limnun=0{un},

任意项级数

先看绝对值收不收敛,不收敛再看本身

n=1|un|收敛,则n=1un收敛;

n=1un收敛,则n=1|un|不一定收敛;

image

经验:看到sin利用有界 or 等价

通用处理:加绝对值 or 利用加减性质

例题应用:
image

4. 幂级数求和与展开

  1. 概览

image

对于函数数列{un(x)}而言,u1(x)+u2(x)+...+un(x)+...为函数项无穷级数

  1. 收敛点 收敛域、收敛区间、收敛半径R(收敛区间的一半长度)
  2. 发散点 发散域
  3. 和函数(收敛才有)

域:要看端点的敛散性;区间:不看端点

image

函数项级数收敛域求法

  1. limnun+1(x)un(x)<1a<x<b

  2. 判定x=1,x=b处的敛散性

  3. 写收敛域

求收敛半径

求幂级数收敛半径:缺项幂级数用法一,标准幂级数用法二

法一:直接求极限

image

法二:系数作比

注:缺项幂级数(如n=0anx2n,n=0anx2n+1)不可以用该方法

仅适用于标准幂级数(如n=0anxn,n=0an(xx0)n

  1. ρ=limn|an+1an|

  2. {1.0<ρ<+R=1ρ2.ρ=0R=+3.ρ=+R=0

  3. 0<ρ<+时,再判定x=±R处敛散性

幂级数及其收敛性

概念(以下为幂级数):

n=0anxnn=0an(xx0)n

(有点像泰勒展开)

e.g.平移不改变性质:

image

阿贝尔Abel 定理

(都为开区间)

如果找到一点收敛,距离中心点相同位置内部一定收敛且为绝对收敛

如果找到一点发散,距离中心点相同位置外部一定发散;

image

条件收敛点是分界点

充分理解的好题:(分界点)

image

幂级数运算:

image

如何判角标:就看首项(先写一项再说)

image

从0到x的变限积分

image

关于首项从几开始,这是一个很严肃的问题:

image

一些不得不关注的重要细节:

求导前后收敛半径不变,收敛区间不变,但是收敛域可能会改变(端点会变)

image

幂级数展开

就是把泰勒公式写到无穷多项

image

【必背】常见麦克劳林级数

11x=n=0xn,1<x<111+x=n=0(1)nxn,1<x<1ex=n=01n!xn,xRln(1+x)=n=0(1)n1n+1xn+1,1<x1sinx=n=0(1)n1(2n+1)!x2n+1,xRcosx=n=0(1)n1(2n)!x2n,xR

题型:将函数展开成某某的幂级数

方法:往这六种上面凑

然后常规展开即可

image

例题:

image

记得写范围!!

幂级数求和

和函数在收敛域范围内一定连续

展开的逆过程

角标变换:
image

注:幂级数求和的形式x的前面的系数要么为1,要么为(1)n

1. 先导后积

爆多 细节

image

2. 看成别人的导

image

三段论:

  1. 求收敛域
  2. 求和函数(用区间做)
  3. 检验端点值!!(闭区间才需要检验)
    1. 在s(x)处有定义,直接加上
    2. 无定义,求极限

image
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