【高等数学】高等数学总复习
高等数学总复习 考研基础课
高等数学总复习
杂项
1. 三角不等式
2. \((ln|x|)' = \frac{1}{x}\)
3.极限的一个结论
4. 初等函数在定义区间内连续
连续函数加减乘除、复合 ——> 结果还是连续
5. $当x\in (0, \pi/2)时，tanx > x > sinx $
6.伽马函数：\(\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}dx=n!(n\in N^+)\)
一、极限
0. 求极限总论：
处理准则：
-
定型：若为已定式，直接代入求解；若为未定式，见2；
-
四化：
- 非0代入
- 根式化简
- 无穷小 \(\to\) 泰勒，洛必达，四则运算
- 幂指函数
-
必须要分左右极限来求的情况：
\[e^\infty,1^\infty ;\,\,arctan\infty;\,\, [x](x\to Z) ;\,\,|x|;\,\,分段函数 \]
不可局部代值，除非是非零因子
1. 按照考点划分
（0）重要极限
(1) 无穷小量
常见等价无穷小替换
和取低阶原则
- \(x+\alpha(x) \backsim x\)
关系定理
-
\[\lim_{n \to \fbox{} }f(x) = a\Leftrightarrow f(x)=a+\alpha\\ (\alpha 是x \to \fbox{}时的无穷小) \]
两种常见构造类型
- \(lnf(x),(f(x)\rightarrow1)\)型：\(lnf(x)=ln[1+f(x)-1]\backsim f(x)-1\)
- \(f^{\alpha}(x)-1,(f(x)\rightarrow1)\)型：\([f(x)-1+1]^{\alpha}-1\backsim \alpha[f(x)-1]\)
(2) 常见泰勒
展开原则：相消不为0且上下同阶
\(x\rightarrow 0\)
常用：
(3)洛必达
- 注意使用条件。洛完结果不唯一就不能洛
(4) 四则运算
- 乘除法中的非0项可以先算
- \(e^f-e^g\)型：提后者
2. 数列极限
(1)定义
-
定义
\[\lim_{n \to \infty}x_n = A\Leftrightarrow \forall \sigma > 0, |x_n-A|<E\\（\exist N > 0, 当n>N时） \] -
延伸
-
收敛 / 发散
\[\lim_{n \to \infty}x_n= \begin{cases} A\exists \Rightarrow \{x_n\}收敛于A\\ A不\exists \Rightarrow \{x_n\}发散 \end{cases} \] -
极限含义
存在N，其后所有数都接近A
(2)收敛数列的性质
-
收敛一定有界，有界不一定收敛
-
保号性：(要注意是后面才保号，前面无关)
\[若\lim_{n \to \infty}x_n>0,则n \to \infty时，x_n>0 \]
(3)求极限
-
大前提
-
不可导（不连续）
-
不能往0跑
-
-
- 转化为函数（连续化处理）
-
-
夹逼准则
\[z_n \leq x_n \leq y_n\\ 同一趋向时，z_n和y_n极限相同 \]常用放缩方法：
-
分子分母同阶时，放缩分母使得分子可加
-
\[A_1,A_2,...,A_n>0且M = max(A_1,A_2,...,A_n)时，\\M \leq A_1+A_2+...+A_n \leq nM \]
-
-
-
3.数列极限求和形式
- 利用不定积分的计算型定义
(4)证极限
-
原理：单调有界必有极限， 方法：数学归纳法
-
在草稿纸上求出极限
-
验证 n = 1时成立
-
假设n = k时成立，证明n = k +1时也成立
-
证毕
-
3. 按极限类型划分
(1) \(\frac{0}{0}\)
-
- 等价无穷小替换
-
- 洛必达
-
- 复杂函数用 泰勒公式 / 麦克劳林替换
(2) \(\frac{\infty}{\infty}\)
- 抓大头；上下同除最大项；洛必达
(3) \(\infty - \infty\)
-
有分母：通分
-
无分母：分子有理化，倒代换
(4) \(0·\infty\)
-
转化为 \(\frac{0}{0}\) 或者 \(\frac{\infty}{\infty}\)
-
注：不要把 $$ln$$ 或 反三角 放分母
(5) \(1^\infty\)
- \(lim u ^ v = e ^{lim v (u-1)},(u \to 1,v \to \infty)\)
(6)$ 0^0 、 \infty^0$
-
用对数恒等式，把指数放下来
-
不要忘了 e ！！！
(7) 求无穷级数的极限
- 由部分推整体
- 与等差等比，定积分等结合
（8）求带积分线的极限
- 洛必达
- 积分中值定理
- 放缩然后夹逼 （比较定理）
二、导数
1. 定义
-
瞬时变化率
\[f'(x_0)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \] -
增量定义
\[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \] -
重要
\[f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
2. 单侧导数
-
\[f'_+(x_0)=\lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ f'_-(x_0)=\lim_{x \to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
-
重要性质：不可导的绝对值函数\(|x-x_0|\)乘上可导（连续）函数之后变可导
3. 可导与连续
-
常见易错
\(f(x)\) 在 \(x_0\)处可导，则\(f'(x)在x_0\)处连续 （错！，应该为\(f(x)在x_0\)处连续）
若\(f''(x_0)\exists\)，则\(f'(x)在x_0\)处连续 √
若\(f''(x_0)\exists\)，则\(f(x)在x_0\)处连续 √
-
分段函数
分段点上用定义求
4. 求导
（1）必背导数表
（2）反函数求导
-
一阶
\[\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f'(x)} \] -
二阶
\[\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3} \]
（3）高阶导数
-
公式法（5条 + 莱布尼茨）
\[1. [\frac1{ax+b}]^{(n)}=\frac{a^nn!(-1^n)}{(ax+b)^{n+1}}\\ 2. [a^x]^{(n)}=a^x(lna)^n,\,\,[e^{ax}]^{(n)}=e^{ax}a^n\\ 3. [sinx]^{(n)}=sin(x+\frac n2\pi),\,\,[cosx]^{(n)}=cos(x+\frac n2\pi)\\ 4. [x^\alpha]^{(n)}= \begin{cases} 0, & n>\alpha\\ \alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)x^{\alpha-n} & n\leq \alpha \end{cases}\\ 5.莱布尼茨：[AB]^{(n)}=C_n^0A^{(n)}B+C_n^1{A^{(n-1)}}B^1+...+C_n^nAB^{(n)} \] -
泰勒展开
-
递归法
（4）参数方程
-
切方 （k为该点导数），法方 （垂直于切方）
-
极坐标与参数方程互化
\[x=r(\theta)cos\theta,\,\,y=r(\theta)sin\theta\\ r(\theta)=\sqrt{x^2+y^2} \] -
相切：\(f(x_0)=g(x_0)且f'(x_0)=g'(x_0)\)
5. 微分()
（1）含义
-
辨析：\(自变量:\Delta x=dx; 因变量:\Delta y \neq dy\)
-
\(y=f(x),若满足 \Delta y=A\Delta x+O(\Delta x),\Delta x\to 0，则y=f(x)可微\)
其中，\(A\)就是微分\(dy\)，也叫线性主部
（2）几何意义
- 切线增量\(dy\)（直线），函数增量\(\Delta y\)（曲线） （\(\Delta x \to 0,\Delta y \approx dy\)）
（3）导数的微分学应用
-
规范答案书写
除拐点要写点坐标之外，间断点、极值点、极值、驻点等都填值
-
单调性
一点导数正负性不决定邻域内单调性，除非导数连续
-
单调性误区
单点\(f'(x_0)\)不能证明增减
- 若\(f'(x_0)>0\)，无法判断\(f(x)\)在\(x_0\)邻域内的单调性
- 若\(f'(x_0)>0\)且\(f'(x_0)\)在\(x_0\)处连续，则断\(f(x)\)在\(x_0\)邻域内单增
-
单调性的破题方法
\(F'(x)\rightarrow F''(x)\rightarrow F'''(x)\rightarrow ...\) ： 找上一级为0的点
- 6种常见构造方法
\[1. f'(x)f(x)\rightarrow \frac 1 2[f^2(x)]'\\ 2. \frac{f'(x)}{f(x)}\rightarrow [lnf(x)]'\\ 3. f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\rightarrow [f(x)g(x)]'\\ 4. f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\rightarrow [\frac {f(x)}{g(x)}]'\\ 5. f'(x)+f(x)\rightarrow [e^xf(x)]'\\ 6. f'(x)-f(x)\rightarrow [e^{-x}f(x)]' \]
-
-
函数极值
-
定义：邻域（左右都有）
-
可疑点：1. 驻点\(f'(x_0)=0\) 2. \(f'(x_0)\)不存在
-
第一充分条件：若\(f(x)\)在\(x_0\)处连续，且\(f'(x)\)在\(x_0\)去心邻域两侧异号
-
第二充分条件：若\(f'(x_0)=0\)且\(f'(x_0)\neq 0\) (\(>0\)取极小，\(<0\)取极大)
-
-
函数最值
- 连续的函数中，唯一极值点就是最值点
- 求解步骤：1. 求(a, b)内极值 2. 求f(a) f(b) 3. 比较
-
函数凹凸性
-
判定：$\forall x \in I,f''(x)>0\rightarrow \(凸；\)\forall x \in I,f''(x)<0\rightarrow $凹
-
定义：（凹函数）割线高于曲线；（凸函数）割线低于曲线
-
拐点
-
定义：凹凸线发生改变的点
-
可疑点：1. \(f''(x_0)=0\) 2. \(f''(x_0)\)不存在
-
第一充分条件：\(f''(x_0)\)两侧异号
-
第二充分条件：\(f''(x_0)=0\)且\(f'''(x_0)\neq 0\)
-
-
-
求渐近线（先垂直后水平最后斜）
-
垂直：1. 找无定义点\(x_0\) 2. \(\lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)}=\infty\)
-
水平：\(\lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}=A\) \((x\rightarrow +\infty / -\infty)\)相同拆开，不同合并
-
斜：
\[a=\lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{f(x)}{x}}, b=\lim_{x\rightarrow \infty}[f(x)-ax] \]
-
-
曲率圆
-
曲率半径\(R\)，曲率\(k=\frac{1}{R}, k\)越大， 越弯
-
\[k=\frac{|y''|}{[1+y'^2]^{\frac {3}{2}}},且k>0 \]
-
三、不定积分（记得+C）
1. 含义
- 凑即积
2. 性质
3. 原函数存在性
若\(\int f(x)dx\)存在：
- \(f(x)\)连续，则原函数必存在
- \(f(x)\)存在第一类 / 无穷间断点。则原函数必不存在
- 若\(f(x)\)有振荡间断点，则原函数可能存在
4. 求不定积分
（1）必背积分表
别漏了绝对值
（2）ex 类
凑一个\(e^x\)以便凑微分
（3）三角函数类
-
模型题
-
必备转化公式
\[tan^2x+1=sec^2x,\,\,\,cot^2x+1=csc^2x \] -
1碰cos，消
\[1+cosx=2cos^2\frac x2,\,\,\,cosx-1=-2sin^2\frac x2 \] -
次数：偶次降幂，奇次凑分（拿出一个）
（4）第二类换元积分法
-
注：d x 也要换，别忘了代回
-
三角代换
-
\[\sqrt{a^2-x^2}\rightarrow 令x=asint\\ \sqrt{a^2+x^2}\rightarrow 令x=atant\\ \sqrt{x^2-a^2}\rightarrow 令x=asect\\ \]
换回方法：画一个三角形，用a x 表示三条边
-
无理根式换元
\[直接令t=\sqrt[n]{ax+b}或\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \]
（5）分部积分
-
规则：反对幂三指（谁在后谁入d）
-
技巧：乘法公式逆用
（6）有理函数积分
直接配的两类：
- \(\int\frac1{Ax^2+Bx+D}dx\) 配方，化成 \(\frac1{x^2+a^2}\)
- \(\int\frac{Ex+F}{Ax^2+Bx+D}dx\) 配凑：\(\int \frac{m分母'+n'}{分母}dx\)
-
假分式化真分式
-
拆分（分母必须要化简到最简形式再拆分）
-
括号外决定项数
-
分子写比分母低一次的多项式
-
有括号（比括号低一次）
-
无括号（比分母低一次）
-
-
括号内看次方项
\[eg.\frac1{(x+2)^3(x^2+x+1)^2}=\frac A{x+2}+\frac B{(x+2)^2}+\frac D {(x+2)^3}+\frac{Ex+F}{x^2+x+1}+\frac{Gx+H}{(x^2+x+1)^2} \] -
四、定积分
1. 定义
（1）计算型定义
面积：
（2）基本形式
-
可用于数列极限求和：1. 和 2. 提 3. 找项
-
拓展：分为\(2n\)份（\(n\rightarrow 2n\)）
2. 几何意义
（1）绝对面积
（2）半圆 椭圆
椭圆（两点定直径）：
3. 定积分性质
（1）基本
定积分是一个数，与变量选取无关
（2）奇偶性
（3）比较定理
积分线相同，被积函数不同，考比较定理
- 若\(f(x\leq g(x))\)则\(\int_a^bf(x)dx\leq \int_a^bg(x)dx,(b>a)\)
- 只要有一个部分比你大，绝对比你大
- 仅需比较两个被积分函数的大小
（4）周期性
-
\(\int_0^{nT}f(x)dx=n\int_0^Tf(x)dx\)
-
\(\int_a^{a+T}f(x)dx\)与\(u\)无关（只要积分线长度等于周期，就都相等）
（5）积分中值定理
若\(f(x)\)在\([a,b]\)连续，则至少存在一个\(\xi \in [a,b]\)使\(\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)\)
平均值：\(\overline{f(x)}=\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}\)
只要积分变量字母不变，上下限范围所属关系不变
4. 求定积分
（1）华莱士公式（点火公式）
（2）第二类换元积分法
-
基本原则：三换（换被积函数，换积分变量，换上下限）
-
轮换对称性：\(\int_0^{\frac\pi2}f(sinx,cosx)dx=\int_0^{\frac\pi2}f(cosx,sinx)dx\) （证明：令\(\frac\pi2-x=t\)）
-
区间再现换元法: 令“上+下 – x = t ”
\[eg.\int_a^bf(x)dx,令b+a-x=t\\ 则\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(b+a-t)dt=\int_a^bf(b+a-x)dx \]来两个典例：
\[1.\int_0^\pi xf(sinx)dx=\frac\pi2\int_0^\pi f(sinx)dx, \,\,\,\,\,2.求\int_0^\pi \frac{xsinx}{1+cos^2x}dx \]
5. 变限函数
\(F(x)=\int_a^xf(t)dt:\) \(x\) 是自变量，\(t\)是积分变量
（1）定理
- 若\(f(x)\)连续，且\(F(x)=\int+a^xf(t)dx\)，则\(F(x)\)必可导，且\(F'(x)=f(x)\)，则\(F(x)\)为\(f(x)\)的一个原函数
- 若\(f(x)\)连续，则\(\int f(x)dx=\int_0^xf(t)dt+C\)
（2）求导法则
-
标准型：若\(f(x)\)连续，\(F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(t)dt\)
则 \(F'(x)=f[\beta(x)]\beta'(x)-f[\alpha(x)]\alpha'(x)\)（上进上导—下进下导）
-
非标准型：换元，把x当作常量
\[令x-t=u,则\int_0^xf(x-t)dt=\int_x^0f(u)d(x-u)=-\int_x^0f(u)du=\int_0^xf(u)du \]
6. 反常积分
（1）概念
有一端为\(\infty\) 或 存在瑕点（无定义点 且 该点极限为\(\infty\)）
（2）计算
- 先找瑕点（奇点）（有瑕点一定要拆开来算）
- \(\infty\)型：正常算 \(+\, lim\, \infty\)
- 四则运算
- 伽马函数
(3)敛散性判别
- 无穷区间的反常积分\(\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}:\) 在\(p>1\)时收敛，在\(p\leq1\)时发散
- 无界函数的反常积分\(\int_0^1\frac{dx}{x^p}(p>0,奇点x=0):\) 在\(0<p<1\)时收敛，在\(p\geq 1\)时发散
7. 定积分应用
（1）物理
-
变力做功问题：\(W=\int_a^bF(x)dx\)
-
水下压强：\(F_压=\int_0^b\rho gax\,dx\)
这图画了老半天
（2）极坐标
-
定义
-
极直转换：\(x=rcos\theta,\,\,y=rsin\theta\)
-
常见平面极坐标曲线
- 心形线
-
双扭线：\((x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)\)
-
阿基米德螺线
-
玫瑰线
（3）面积 体积
- 面积\[S_1=\int_a^b[y_2(x)-y_1(x)]dx,\,\,\,\,S_2=\int_c^d[x_2(y)-x_1(y)]dx \]注：靠近正半轴的 – 远离正半轴的
小心正负！！
平面面积
-
极坐标
-
参数方程
旋转体体积
-
x 轴
-
y 轴
-
x = c
旋转曲面表面积
平面曲线的弧长
- 弧微分
五、常微分方程
1. 基础
-
概念
c 的个数就是阶数
-
一阶微分方程判定思路
\[\frac{dy}{dx}=...\rightarrow 可分离f(x)g(x)\rightarrow 齐次f(\frac yx)\rightarrow \\头重脚轻(如果不是，就先倒代换再做) \begin{cases} 1. 一节非齐次线性方程\\ 2. 伯努利 \end{cases} \]
2. 齐次与非齐次的通解
齐次：\(c_1\)齐 + \(c_2\)齐 （\(c_1,c_2\)线性无关）
非齐次：\(c_1\)齐 + \(c_2\)齐 + 非齐次线性方程组的一个特解
转化：非齐次作差 \(\rightarrow\) 齐次
3. 一阶
（1）可分离
出现\(ln：+ lnc_1\) （以便化简）
（2）齐次
（3）一阶非齐次线性
形式：\(y'+p(x)y=q(x)\)
公式：
（注：不必加绝对值）
助记（积分因子法）：
-
先找到因子\(e^{\int p(x)dx}\)，原方程两边同乘该因子，得
\[y'e^{\int p(x)dx}+y\,p(x)e^{\int p(x)dx}=q(x)e^{\int p(x)dx} \] -
观察易得，左半边为 \([y\,e^{\int p(x)dx}]'\)
-
两边同时积分就能解得 \(y\)
（4）伯努利
形式：\(y'+p(x)y=q(x)y^n\)
做法：
-
一除：\(\frac 1{y^n}y+p(x)y^{1-n}=q(x)\)
-
二换：令\(z=y^{1-n}\)，则\(\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}\)
-
三回代：\(\frac 1{1-n}\frac{dz}{dx}+p(x)z=q(x)\)
最后化为一阶非齐次线性：\(\frac{dz}{dx}+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)\)
4. 高阶
（1）二阶可降阶
- 不显 \(y,\,y''=f(y',x):\) 令 \(y'=p,\) 则\(y''=\frac{dp}{dx}\)
- 不显 \(x,\,y''=f(y',y):\) 令 \(y'=p,\) 则\(y''=p\frac{dp}{dy}\)
（2）二阶常系数线性
-
齐次
-
写特征方程：\(\lambda^2+p\lambda+q=0\)
-
解特征值：\(\lambda_1,\lambda_2\)
-
写通解
\[\begin{cases} \lambda_1\neq\lambda_2\rightarrow c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}\\ \lambda_1=\lambda_2\rightarrow (c_1+c_2x)e^{\lambda_1x}\\ \lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\rightarrow e^{\alpha x}[c_1cos\beta x+c_2sin\beta x] \end{cases} \]
-
-
非齐次
（3）欧拉
5. 叠加定理
六、中值定理
1. 索引
- 存在一个\(\xi\)使得等式成立
- $F(\xi)=0\rightarrow \(**零点定理**\)\rightarrow F(x)$
- $F'(\xi)=0\rightarrow \(**罗尔定理**\)\rightarrow $三步构造
- 证\(f(\xi)=A\rightarrow\)介值定理+最值定理\(\rightarrow m\leq A \leq M\)
- 同一函数做差\(\rightarrow\)拉格朗日中值定理
- 两个不同函数做差\(\rightarrow\)柯西中值定理
2. 闭区间连续函数性质
（1）有界定理
（2）最值定理
\(m, M\)
（3）介值定理
若\(f(x)\)在\([a,b]\)连续，且\(m<A<M\)，则至少 \(\exists \,\xi\in[a,b]\)。使\(f(\xi)=A\)
（4）零点定理
若\(f(x)\)在\([a,b]\)连续，且\(f(a)f(b)<0\)，则至少 \(\exists \,\xi\in a,b\)，使\(f(\xi)=0\)
3. 积分中值定理
去积分线
（1）使用
若\(f(x)\)在\([a,b]\)连续，则至少 \(\exists \,\xi\in [a,b]\)，使\(\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)\)
（2）证明
（3）广义积分中值定理
可使用拉格朗日中值定理推广至\((a,b)\)：
若\(f(x)\)在\((a,b)\)连续，则至少 \(\exists \,\xi\in [a,b]\)，使\(\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)\)
原理：被积分函数连续，变限函数一定可导
4. 微分中值定理
（1）费马引理
若\(f(x)\)在\(x_0\)处取得极值，且\(f(x)\)在\(x_0\)处可导，则\(f'(x_0)=0\)
（2）罗尔定理
若\(f(x)\)在\([a,b]\)连续，\((a,b)\)可导，且\(f(a)=f(b)\)，则\(\exists \, \xi \in (a,b),\,f'(\xi)=0\)
找\(F(x)\)的万能法：
- \(\xi \rightarrow x\)
- 找原函数：不定积分 / 微分方程
- \(c = F(x)=...\) （把\(c\)扔一边，另一边就是\(F(x)\)
（3）拉格朗日中值定理
用罗尔定理证得
（4）柯西中值定理
证明：
（5）泰勒定理
特别的，当\(x_0=0\)时有麦克劳林公式：
七、多元函数微分学
八、多元函数积分学
1. 概念
（1）含义
绝对体积
积分变量\(d\sigma = dx\, dy\)
取点 \(\rightarrow\) 划线 \(\rightarrow\) 投影 \(\rightarrow\) 积分
（2）性质
（3）比较定理
积分线相同，函数不同
若在 D 上\(f(x, y) \leq g(x, y)\) 则有
（4）中值定理
\(f(x, y)\)在有界闭区域 D 上连续，至少存在一点\((\xi ,\eta) \in D\)，使得
2. 计算
（0）综合运用
画出积分区域，有对称性就用技巧法，没有就用直接法 （二者结合着用）
拆
分块区域
（1）直角坐标算二重积分
-
X 型：先积 x 后积 y
\[\int_a^b {dx}\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x, y)\, dy \] -
Y 型：先积 y 后积 x
\[\int_a^b {dy}\int_{\phi_1(y)}^{\phi_2(y)}f(x, y)\, dx \]
（2）极坐标算二重积分
-
适用：积分区域是圆 或 被积分函数是：
\[f(x^2+y^2),f(\frac{ax^n+by^n}{cx^n+dy^n})（同比次方式） \] -
公式：
\[\int_{\alpha}^{\beta} {} \,{\rm d}\theta \int_{0}^{r(\theta)} {f(rcos\theta,rsin\theta)}r\,{\rm d}r \]- 找 \(\theta\) ： 范围\([\alpha, \beta]\)
- 取 \(\theta\) ： 做射线，找边界方程 \(r(\theta)\)
- 助记 ：\(ds = dx\, dy = r \, dr \, d\theta\)
（3）技巧法
适用抽象函数
a. 积分区域下的奇偶性
- 积分区域 D 关于 x 轴对称 \(\rightarrow\) 看 y 函数（ y 奇为0， y 偶为2倍）
- 积分区域 D 关于 y 轴对称 \(\rightarrow\) 看 x 函数（ x 奇为0， x 偶为2倍）
- 拆解，做辅助线
b. 轮换对称性
区域关于 y = x 对称
x y 互换，然后二者加起来
（5）综合练习：
-
\[求\iint y[1+xe^{\frac12(x^2+y^2)}]dxdy,D由直线y=x,y=-1,x=1围成 \]
-
\[求\iint \frac{xsin(\pi\sqrt{x^2+y^2})}{x+y}dxdy,D=\{(x,y)|1\leq x^2+y^2\leq4,x\geq 0,y\geq 0\} \]
-
\[求\iint max(xy,1)dxdy,D=\{(x,y)|0\leq x\leq2,0\leq y\leq2\} \]
-
\[求\iint |x^2+y^2-1|dxdy,D=\{(x,y)|0\leq x\leq1,0\leq x\leq 1\} \]
-
\[交换二次积分的积分次序：\int_{-1}^0dy\int_2^{1-y}f(x,y)dx \]
-
\[求\int_0^2dx\int_x^2e^{-y^2}dy \]
-
-
\[把\int_0^\frac\pi2 d\theta\int_0^{cos\theta}f(rcos\theta,rsin\theta)rdr转化成x型和y型 \]
-
\[\lim_{t\rightarrow 0^+}\frac{\int_0^tdx\int_t^xe^{-y^2}dy}{t^\alpha}=\beta\neq0 \]
解析：
-
-
轮换对称
-
分块积分
-
分块 灵活运用可加性
-
注意次序（小心正负号）
-
积不出来，交换次序
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我又画错图了
-
极直转化
-
三重积分
先咕咕
曲面积分
平面类比二重积分；空间类比三重积分
线：\(ds\)，面：\(dS\)
对面积分的曲面积分计算法：
\(z\) 解不出来 \(\rightarrow\) 隐函数求导
第一型曲线积分
绝对值曲线画法：去绝对值 + 对称性
不均匀表面质量
面密度：\(\rho=f(x,y,z)\)，\(dm=f(x,y,z)dS\)，\(m=\iint f(x,y,z)dS\)
被积分函数满足曲面方程
平面中
画图 + 代入
第一型曲线积分与方向无关，积分下限一定比上限小（从小到大）
直接法（干掉弧微分）：
技巧法：
- 积分区域对称：关于 \(x\) 轴对称则看 \(y\)，关于 \(y\) 轴对称则看 \(x\)
- 轮换对称性：关于 \(y=x\) 对称
空间中
直接法（参数方程）：
技巧法：
- 积分区域对称：关于 \(xOy\) 面对称则看 \(z\)，关于 \(xOz\) 轴对称则看 \(y\)，关于 \(yOz\) 轴对称则看 \(x\)
- 轮换对称性：
- 看方程：调换\(x,y\)，方程不变
- 看图：调换\(x,y\)轴，图像不变
牛逼题：
例题：
好题：
第二型曲线积分（对坐标）
与方向有关
定义：变力做功 \(W=\vec F\cdot\vec x\)
$ ,\vec F=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j,,,, \vec{dS}=dx\cdot\vec i+dy\cdot \vec j$
故\(dw=\vec F\cdot \vec{ds}=P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)
则\(w=\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)
直接法：参数方程回代
例题：
格林公式
大前提：
**1. 封闭曲线且正方向（左手始终在区域内） **
2. P,Q具有一节连续偏导数（把两个偏导数算出来，没有无定义点）
\(\bbox[pink]{千万注意:dx前面的才是P}\)
内容：
如何判断能否使用：
看\(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\)的二重积分好不好算
处理：补线 / 挖洞
例题1：
例题2：
例题3：
好题：
（未完待续）
十、无穷级数
1. 等比级数
等比级数敛散性只看公比
注意起始下标
求和只能用定义来算
2. 收敛级数的基本性质
-
\[\sum_{n=1}^\infty u_n与\sum_{n=1}^\infty u_n同敛散性(k\neq 0)\\ \]
-
收敛\(\pm\)收敛\(\rightarrow\) 收敛;
收敛\(\pm\)发散$\rightarrow \(发散; 发散\)\pm\(发散\)\rightarrow$ 未知; -
改变级数的前有限项，不改变级数的敛散性
-
若级数收敛，不改变各项次序任意加括号后仍收敛
- 原收敛，加括号后一定收敛
- 加括号后发散，原级数一定发散
- 加括号后收敛，原级数不一定收敛
-
\[如果级数\sum_{n=1}^\infty u_n收敛，则\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0 \]
-
\(\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0\)不一定能推出级数收敛
-
\(\lim_{n\rightarrow \infty}u_n\neq0\rightarrow\)发散
-
3. 常数项级数审敛法
先看通项极限是否为0，不为0一定发散
常数项级数判定敛散性思路：
正项级数
定义：\(\sum_{n = 1}^\infty u_n,(u_n>0)\)为正项级数，部分和为\(s_n\)，\(\{s_n\}\)是一个单调增加的数列
收敛的充要条件：部分和有上界
正项级数审敛法：
放大看收敛，缩小看发散
-
比较审敛法：大收敛则小收敛，小发散则大发散
-
极限形式：
\[\sum_{n=1}^\infty u_n,\sum_{n=1}^\infty v_n为正项级数，\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_n}{v_n}=l:\\ 1. l=0且\sum_{n=1}^\infty v_n收敛时，\sum_{n=1}^\infty u_n收敛;\\ 2. l+\infty且\sum_{n=1}^\infty v_n发散时，\sum_{n=1}^\infty u_n发散;\\ 3. \,0<l<+\infty时,两个级数的敛散性相同 \]
例题（注意是充分条件，不能反推回来）：
常见级数
调和级数发散
比值审敛法（达朗贝尔判别法）：
适用：含有\(a^n,n^n,n!\)
易错点
必须要能找到一个p严格\(0<p<1\)，趋近于也不行
适用：看到阶乘，可约
根值审敛法（柯西判别法）：
适用：只有\(a^n,n^n\)
\(n^{1+\epsilon}\)
sin cos \(\rightarrow\) 放大
收敛半径
积分审敛法：
正 趋向于0
性质：
求导之后收敛域会变小
求积分之后收敛域会变大
(减小系数之后会增加收敛的可能性)
交错级数（莱布尼茨判别法）：
极限为0，单调递减，正向数列
易错点：\(u_n>0\)必须满足
任意项级数
先看绝对值收不收敛，不收敛再看本身
若\(\sum_{n=1}^\infty |u_n|\)收敛，则\(\sum_{n=1}^\infty u_n\)收敛；
若\(\sum_{n=1}^\infty u_n\)收敛，则\(\sum_{n=1}^\infty |u_n|\)不一定收敛；
经验：看到sin\(\rightarrow\)利用有界 or 等价
通用处理：加绝对值 or 利用加减性质
例题应用：
4. 幂级数求和与展开
- 概览
对于函数数列\(\{u_n(x)\}\)而言，\(u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...\)为函数项无穷级数
- 收敛点 $\rightarrow $ 收敛域、收敛区间、收敛半径\(R\)（收敛区间的一半长度）
- 发散点 \(\rightarrow\) 发散域
- 和函数（收敛才有）
域：要看端点的敛散性；区间：不看端点
函数项级数收敛域求法
-
\[\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}<1\rightarrow a < x < b\rightarrow 收敛区间 \]
-
判定\(x=1,x=b\)处的敛散性
-
写收敛域
求收敛半径
求幂级数收敛半径：缺项幂级数用法一，标准幂级数用法二
法一：直接求极限
法二：系数作比
注：缺项幂级数（如\(\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n},\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n+1}\)）不可以用该方法
仅适用于标准幂级数（如\(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n,\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\)）
-
\[\rho =\lim_{n\rightarrow \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| \]
-
\[\begin{cases} 1. 0<\rho<+\infty & 则 R=\frac1\rho\\ 2. \rho=0 & 则R=+\infty\\ 3. \rho=+\infty & 则R=0\\ \end{cases} \]
-
当\(0<\rho<+\infty\)时，再判定\(x=\pm R\)处敛散性
幂级数及其收敛性
概念（以下为幂级数）：
（有点像泰勒展开）
e.g.平移不改变性质：
阿贝尔Abel 定理：
（都为开区间）
如果找到一点收敛，距离中心点相同位置内部一定收敛且为绝对收敛；
如果找到一点发散，距离中心点相同位置外部一定发散；
条件收敛点是分界点
充分理解的好题：（分界点）
幂级数运算：
如何判角标：就看首项（先写一项再说）
从0到x的变限积分
关于首项从几开始，这是一个很严肃的问题：
一些不得不关注的重要细节：
求导前后收敛半径不变，收敛区间不变，但是收敛域可能会改变（端点会变）
幂级数展开
就是把泰勒公式写到无穷多项
【必背】常见麦克劳林级数
题型：将函数展开成某某的幂级数
方法：往这六种上面凑
然后常规展开即可
例题：
记得写范围！！
幂级数求和
和函数在收敛域范围内一定连续
展开的逆过程
角标变换：
注：幂级数求和的形式x的前面的系数要么为1，要么为\((-1)^n\)
1. 先导后积
爆多 细节
2. 看成别人的导
三段论：
- 求收敛域
- 求和函数（用区间做）
- 检验端点值！！（闭区间才需要检验）
- 在s(x)处有定义，直接加上
- 无定义，求极限
