一些简单的数学题

数学

鉴于 \(CCF\) 钦定不考 \(FFT\) 和 \(NTT\) ，不在这里写有关 \(FFT\) 和 \(NTT\) 的题。

CF1278F Cards

题目大意

你有一副牌，这副牌一共 \(n\) 站牌，其中有一张是 \(Joker\) ，你想随机从中抽一张牌，抽 \(n\) 次，设共抽到 \(x\) 次 \(Joker\) ，现在你想直到 \(x^k\) 的期望是多少。
\(1 \le n, m \le 998244352, 1 \le k \le 5000\)

题解

首先设 \(p = \frac{1}{m}\) ，则 \(ans = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} p^i (1-p)^{(n-i)} i^k\) ，本质是枚举抽到多少次 \(Joker\) 。

但是显然不能枚举到 \(n\) ，于是考虑优化，看到 \(i^k\) 不难想到用第二类斯特林数。

\[ans = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} p^i(1-p)^{n-i} \sum_{j=1}^k {k \brace j} i^{\underline{j}} \]

\[ans = \sum_{j=1}^k {k \brace j} \sum_{i=j}^n \binom{n}{i} p^i(1-p)^{n-i} i^{\underline{j}} \]

考虑式子后面的部分。

\[\sum_{i=j}^n \binom{n}{i} p^i(1-p)^{n-i} i^{\underline{j}} \]

\[= \sum_{i=j}^n \binom{n}{i} \binom{i}{j} j! p^i (1-p)^{n-i} \]

\[= \binom{n}{j} j! \sum_{i=j}^n \binom{n-j}{i-j} p^i (1-p)^{n-i} \]

\[= n^{\underline{j}} \sum_{i=0}^{n-j} p^{i+j} (1-p)^{n-i-j} \]

\[= n^{\underline{j}} p^j \]

带入原式，则：

\[ans = \sum_{j=1}^k {k \brace j} n^{\underline{j}} p^j \]

由于 \(k\) 很小，所以可以直接 \(O(k^2)\) 求，当然也可以 \(O(k \log k)\) 卷积求。