组合数

组合数

常见的性质

1、\(\displaystyle \binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}\)
2、\(\displaystyle \binom{n}{m}=\frac{n}{m} \binom{n-1}{m-1}\)
（貌似没啥用。。。。
3、\(\displaystyle \binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1}\)
（杨辉三角递推式。。。
4、\(\displaystyle \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}=2^n\)
二项式定理特殊情况，\(a=1,b=1\) （其实就相当于子集数量。。。
5、\(\displaystyle \sum_{i=0}^n (-1)^i\binom{n}{i} = [n=0]\)
二项式定理另一种特殊情况，\(a=1, b=-1\) （貌似有更多的用途。。。
6、\(\displaystyle \sum_{i=0}^m \binom{n}{i} \binom{m}{m-i} = \binom{n+m}{m} (n\le m)\)
7、\(\displaystyle \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}^2 = \binom{2n}{n}\)
令 \(6\) 中的 \(n=m\) 即可。。。
8、\(\displaystyle \sum_{i=0}^n \binom{i}{k}=\binom{n+1}{k+1}\)
9、\(\displaystyle \binom{n}{r} \binom{r}{k}= \binom{n}{k} \binom{n-k}{r-k}\)
10、\(\displaystyle \sum_{i=0}^n \binom{n-i}{i}=Fib_{n+1}\)
其中 \(Fib_{i}\) 表示斐波那契数列的第 \(i\) 项。

不相邻的组合数

从 \(n\) 个球中选出 \(k\) 个球，要求所选的球两两不相邻，问有多少种选择的方法。
可以先从 \(n\) 个球中除去 \(k-1\) 个球，然后这 \(n-k+1\) 个球中选出 \(k\) 个球，然后再将除去的 \(k-1\) 个球插入选中的任意两个球中间。
这样显然是正确的，总共有 \(C(n-k+1, k)\) 种选法，而若 \(n<2k-1\) ，则显然不存在任意一种选法。

考虑进行扩展，若要选的求在一个环上，而不是一个序列上该如何实现。
首先将球从 \(1-n\) 进行编号，那么选择显然可以分为选择 \(1\) 号球和不选择 \(1\) 号球两种。
若选择 \(1\) 号球，则接下来需要在 \(3\) 到 \(n-1\) 号球中选出 \(k-1\) 个球，共 \(C(n-k-1, k-1)\) 种方案。
若不选择 \(1\) 号球，则接下来需要在 \(2\) 到 \(n\) 号球中选出 \(k\) 个球，共 \(C(n-k,k)\) 中方案。

错位排列

将 \(n\) 个代编号的球放入 \(n\) 个代编号的桶中，求每个球的编号与桶的编号均不相同有多少中排列。

考虑依次将球放入桶中，现在放到第 \(i\) 个，有多少种方案。
假设已经算完放前 \(i-1\) 个球的所有方案，那么转移方法无非两种，一种是前 \(i-1\) 个球均满足错位，那么只需将第 \(i\) 个与之前一个交换以下顺序即可；另一种是前 \(i-1\) 个中仅有一个不满足错位，那么将第 \(i\) 个与那个不满足错位的交换即可。
递推式为 ：\(f_{i}=(n-1)(f_{i-1}+f_{i-2})\)

待补充。。。。