UOJ NOI Round 6

再次体验到了挂分的乐趣。。。

Day 0

按理来说应该是要参加 笔试 的，结果和同学踢球错过了报名。。。于是咕了。。。
队友极假，三颗单刀一颗没进，无脑致敬斯特林，体验极差。。

Day 1

T1 面基之路

首先注意到 hehe 是肯定不会走回头路的，因为所有人速度都相同，走回头路不如站在一个地方等其他人过来，所以最终一定是所有人都走到一个地方。所谓面基，就是走到某个约定好的地点罚站，等最后一个人过来。。。

于是对 \(k\) 个点中的每个点跑一次最段路，要求的就是点上或边上的一点使得所有人到这个点的最大距离最小，点上的很好求，边上的只要将这 \(k\) 个点排序或二分答案即可，不加以赘述。貌似只有我写了二分答案，常数大的离谱。。。

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T2 机器人表演

与官方题解不同，这是取自评论区的一种做法。不知道为何被点了十几个踩。。。

首先这肯定是一个 \(dp\) ，于是考虑设计状态。不要看到括号就去想区间 \(dp\) ，因为给出的串 \(s\) 并不满足括号匹配。。。考虑是否存在一种方法将一个 \(01\) 序列 \(t\) 唯一的表示出来，不难想到先找出最长的 \(s\) 的前缀满足它是 \(t\) 的一个子序列，那么剩下的括号就是新加入的 \(t\) 对 \(01\) 。
于是设状态 \(f_{i, j, k}\) 表示 \(s\) 中最长能与 \(t\) 匹配的长度为 \(i\) ，剩下的序列中有 \(j\) 个 \(0\)， \(k\) 个 \(1\) 的方案数，因为每个合法 \(01\) 序列可以被唯一表示，所以只要转移正确就一定不会出现被算重或少算的情况。

接下来考虑转移，先按照长度枚举所有的状态 \(f_{i, j, k}\) ，转移就是枚举下一个位置要添 \(0\) 还是 \(1\)：
若要添的数其好等于 \(s_{i + 1}\) ，那么只能转移到 \(f_{i + 1, j, k}\) ；
否则对 \(0\) 和 \(1\) 分类讨论，若要添 \(0\) 显然是没有限制的，可以直接转移到 \(f_{i, j + 1, k}\) ；
若要添 \(1\) ，注意到为了满足括号匹配，只有在 \(j > k\) 的时候可以直接转移到 \(f_{i, j, k + 1}\) ；
否则无法直接转移，但并不代表这种情况一定不合法，注意到可能存在一个位置 \(pre_i\) 满足 \(s_{pre_i} = 0\) ，且 \(s_{pre_i + 1, i}\) 是合法括号序，那么将 \(s_{pre_i, i}\) 归类到新加入的括号，记这一段的长度为 \(len\) ，即可转移到状态 \(f_{pre_i - 1, j + \frac{len}{2} + 1, k + \frac{len}{2} + 1}\) 。

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T3 稳健型选手

乍一看没有什么思路，于是先从暴力想起。
直接求最大的贡献很困难，于是正难则反，考虑算另一个人最小的贡献。注意到两人是轮流选取的，且我们考虑的这个人只选最左边的数，那么进行到第 \(2i\) 轮的时候，选了 \(i\) 个数，因此选择的第 \(i\) 个数，一定是在第 \(2i\) 轮之前，于是一种贪心的策略是每次加入两个数，选出此时还没选的最小的数，用堆维护即可，时间复杂度 \(O(nq \log n), 40pts\) 。

考虑另一种贪心，之前是从左向右枚举的，如果从右向左枚举可以吗？显然也是可以的，每次向左加入两个数，因为第 \(i\) 个数是在的 \(2i\) 轮之前选择的，所以新加入的两个数中，较小的那个必须选择，较大的数如果比已经选择的数中最大的小，就选择它（类似于反悔贪心）。这样便实现了同时向两边扩展，可以用两个堆，分别维护选择的数和为选择的数，用不删除莫队即可做到 \(O(n \sqrt(n) \log n), 70pts\) 。然而我写的太丑 TLE 了。。。只是徒增了罚时。。\kk

此时这个做法离正解已经很接近了，将上面两种贪心的规则规范化，就是对于前 \(2i\) 个数中，一定会选择 \(\ge i\) 个数，对于后 \(2i\) 个数中，一定选择 \(\le i\) 个数。不难通过看题解等方法想到可以用分治解决这个问题，对于每个询问，只在第一个它跨过分治中心的区间计算它，由上述贪心可得，对于分治中心的左边，有一些数是必须选的，而对于分治中心的右边，有一些数是一定不会选的，于是用两棵主席树，分别维护左边和右边可能选择的数，每次相当于在两棵主席数中求一个前 \(k\) 大的和。

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然而这题被 \(Ring\) 用 \(O(n \sqrt{n} \log _w n)\) 水过去了，跑得还比我快。/kk
认清了自己人傻常数大的本质。。。

Day 2

T1 小火车

喜提最劣解。。。

注意到 \(p < 2^n\) ，乍一看是个很没用的条件，注意到每个一个大小为 \(n\) 的集合有且只有 \(2^n\) 个子集，那么至少存在两个集合的和在 \(mod \ p\) 意义下是相等的，只要找到这两个集合即可构造出答案了。直接求解两个集合较为困难，因此考虑求出这个集合的和是多少。

枚举所有的子集和显然不现实，因此尝试二分答案，注意到和在区间 \([l, r]\) 内的子集数量大于 \(r - l + 1\) 是区间 \([l, r]\) 内有解的必要条件，而若区间 \([l, r]\) 满足条件，则其子区间 \([l, mid], [mid + 1, r]\) 中也必然有一个满足条件，而区间 \([0, p - 1]\) 一定满足条件。现在只要能较快的求出一个区间内多少集合便可以二分了，注意到 \(n\) 只有 \(40\) ，可以 meet in the meddle ，枚举前 \(\frac{n}{2}\) 的集合，提前将后 \(\frac{n}{2}\) 的集合排好序，用三个指针分别维护 \(\ge p\) 的答案和 \(< p\) 的答案即可。

然而不知为何我的写法常数极大。。。

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认清了自己人傻常数大的本质。。。

T2 神隐

首先有一个显然的二进制分组，就是对于二进制编号的每一位，另所有包含这一位的边和所有不包含这一位的边分别选一次，一共询问了 \(2 \log n\) 次，每条边都被选了恰好 \(log\) 次。然而这样询问次数太多了，考虑优化，注意到 \(\binom{20}{10} > n\) ，可以将每条边赋值一个 \(20\) 位，包含恰好 \(10\) 个 \(1\) 的二进制数，再类似于上面对于每一位，仅询问所有这一位有 \(1\) 边即可，这样对于 \(20\) 次询问，每条边被选了恰好 \(10\) 次。考虑到每条边被选了恰好 \(10\) 次，那么若有一对点 \(u, v\) 恰好有一半的询问满足这两个点在同一个连通块内，那么这两个点之间一定有一条边。

然而这样实现是 \(O(n^2)\) 的。。于是考虑用一种剥叶子的思想（貌似是交互中常见的思想。。），若一个点是叶子节点，也就是只有一条出边连向父亲，那这个点一定在恰好一半的询问中都是单独一个点作为一个连通块，便将其拨除，然后找到所有包含它的连通块中，看是否会出现新的叶子。对于找一个点的父亲，可以在其父亲被剥除时进行，父亲所在的某个连通块中，若所有点都被拨除，那其中所有还没有找到父亲的点一定都是它的儿子。

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Border 的第五种求法

为什么这题有人场切啊。。。 \(DAG\) 剖分是什么鬼。。。

Summary

感觉分有点小低。。。如果不是今年名额多就打铁了。。。
于是大概分析了一下。。。
首先是没有参加笔试，大家去打 NOI 记得参加笔试哦。。。
\(Day \ 1\) 其实打得还行。。大概就是个大众分的水平，但是 \(t2\) 暴力分打的太少了，考场上想到了状态，但是不够自信也就没有深究，只写了最裸的暴力，实际上最裸的 \(dp\) 套 \(dp\) 都有不少分。。。 \(t3\) 的回滚莫队没有卡常，惨遭 \(TLE\) 也比较可惜。。。

\(Day \ 2\) 就挂的比较惨了，同样是常数问题， \(t1\) 挂掉了 \(20pts\) ，写 \(t3\) 的时候想起了一个不知道从哪看来的假结论，浪费了不少时间，也只得了暴力分， \(t2\) 的暴力写的太少了，貌似人均 \(50pts\) ，而且那个二进制分组的做法在之前的模拟赛中见过。。属实可惜。

烤场上不要奢求想正解，不要在一道题上浪费过多时间，每道题都应适当分配足够的时间，两天的暴力都没有打全，丢了不少分，属实可惜，希望国赛赛场上能发挥的好一点罢。。。

还没改完/kk