关于矩阵

矩阵

之前一直不太理解矩阵快速幂如何构造，实际上就是如果 \(i\) 能更新 \(j\) ，就把 \(a_{i,j}\) 加一即可。

tricks

积累一个刚刚学到的 \(trick\) 。

已知一个矩阵 \(A\) ，现在要求 \(A + A^2 + A^3 + ...... + A^k\) 。

如果直接求显然会大力 \(Tle\) 。。。
因此观察性质，不难发现这个式子满足等比数列的形式，由于矩阵乘法满足结合律，因此也满足以下式子 ：
若 \(k\) 为奇数，原式 \(=(A + A^2 + ...... + A^{\frac{k}{2}}) + A^{\frac{k}{2}} * (A + A^2 + ...... + A^{\frac{k}{2}}) + A^k\)
若 \(k\) 为偶数，原式 \(=(A + A^2 + ...... + A^{\frac{k}{2}}) + A^{\frac{k}{2}} * (A + A^2 + ...... + A^{\frac{k}{2}})\)

不难发现，这样就可以在 \(O(n^3 \log k)\) 的优秀的时间复杂度内得到所求矩阵，具体实现如下 ：

code

for(int i=20; ~i; --i){
	if(!flag) { flag|=(k>>i)&1; continue; }
	if((k>>i)&1) a=a+a*ul, ul=ul*ul*ans, a=a+ul;
	else a=a+a*ul, ul=ul*ul;
}

---

考试中出现的一个 \(trick\) 。

若递推式中如果出现常数，可以将常数单独作为一维放入矩阵中，使常数向其它项转移，而其他项不向常数项转移。。。（貌似是废话。。。

---

对于矩阵快速幂，如果将运算中的乘法改成加法，加法改成去 \(max\)，矩阵仍满足结合律，可以矩阵快速幂求解。

即：

\[A_{i,j}= max(B_{i,k}+C_{k,j}) \]

并不是很理解。。。
不过巨佬 \(Dky\) 说是对的。。。
话说我觉得矩阵本身就很玄学。。。

利用这种方法可以求解诸如最长路||最大值的问题。