P4062 Yazid 的新生舞会(暑假集训CSP提高模拟3 简单的线性做法题)

谨以此文纪念一场灾难

来给这位善良的人点点赞

题面

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题解：

首先 题面中所指的众数为 绝对众数（绝对众数是指在一组数据中出现次数 \(超过\) 总数一半的数值。）， 下文的所有众数也指绝对众数。

有以下性质

• 任意一个区间的绝对众数的数值唯一

• 如果\(x\)是区间\([l,r]\)的众数，那么对于\(l≤k≤r\)，\(x\)一定是区间\([l,k]\)或区间\((k,r]\)的众数。

• 以 \(n\) 结尾的所有区间的绝对众数构成的集合大小不超过为 \(log⁡\) \(n\)

一 ( \(O(nlog^{2}n)\) 做法) ：

因为众数个数的取值范围极小，且又有性质二可以利用，考虑分治做法：

对于每个区间 \([L,R]\) ,取 \(mid=(l+r)/2\) ,并将\(mid\) 设为性质二中的\(k\),以此求出所有可能的众数,并记录.

对于每个过 \(mid\) 的小区间 \([l,r]\) ,只有当存在众数 \(v\) 使得 \([l,r]\) 间的 \(sum_{v}\gt\frac{r-l+1}{2}\) ,才可使$ans \texttt{++} $.

又因为C++中自动向下取整 ，所以对 \(r-l+1\) 的奇偶性分讨 得

\[sum_{v}\gt \lfloor\frac{r-l+1}{2} \rfloor\Leftrightarrow 2sum_{v}\ge r-l+2 \]

设\(v\)在\([l,mid]\)的个数为 \(S_{l}\) ，\([mid+1,r]\) 为 \(S_{r}\)。
因为 \(sum_{v}=S_{l}+S_{r}\).
所以

\[l+2S_{l}\ge r-2S_{r}+2\tag{1} \]

所以对于每个\([L,R]\)中的\(l,r\)都有一一对应的\(l+2S_{l},r-2S_{r}\).

因此可以预先处理出每个\(l\) 对应的$l+2S_{r} $ 值， 并储存起来。

然后对于每个\(r\),找出所有找出满足\((1)\) 的 \(l\)的个数（用求后缀的方式）,并计入\(ans\).

最后向下一层递归，本题就结束了.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn=5e5+10;
int a[maxn],cnt[maxn],num[maxn],pos[maxn],c[maxn];
"""
cnt[i]表示 值为l+Sl==i的个数
"""
int ans=0;
void sol(int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		ans++;
		return;
	}		
	int mid=(l+r)>>1;
	sol(l,mid);
	sol(mid+1,r);
	
	for(int i=mid;i>=l;--i)
		if(++cnt[a[i]]>=(mid-i+1)/2 and !pos[a[i]])	
			num[pos[a[i]]=++num[0]]=a[i];
	
	for(int i=l;i<=mid;++i)
		cnt[a[i]]=0;
	
	for(int i=mid+1;i<=r;++i)
		if(++cnt[a[i]]>=(i-mid)/2 and !pos[a[i]])
			num[pos[a[i]]=++num[0]]=a[i];
		
	for(int i=l;i<=r;++i)
		cnt[a[i]]=pos[a[i]]=0;
		
	for(int j=1,v;v=num[j],j<=num[0];++j)
	{
		int L=1e9,R=0;
		
		for(int i=mid,t=0;i>=l;--i)
		{
			if(a[i]==v)t+=2;
			++c[t+i];
			
			L=min(L,t+i);
			R=max(R,t+i);
		}
		
		for(int i=R;i>=L;--i)
			c[i]+=c[i+1];
		
		int tmp=0;
		for(int i=mid+1,t=0;i<=r;++i)
		{
			if(a[i]==v)t+=2;
			tmp+=c[max(L,i-t+2)];
		}
		ans+=tmp;
		
		for(int i=L;i<=R;++i)
			c[i]=0;
	}
	
	num[0]=0;
}

signed main()
{
	//freopen("in.in","r",stdin);
	//freopen("out.out","w",stdout);
	int n,x;
	cin>>n;
	cin>>x;
	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
	sol(1,n);
	cout<<ans;
	return 0;
}