ABC367G 题解

题意

给定正整数 $N, M, K$ 和一个非负整数序列 $A = (A_{1}, A_{2}, \dots, A_{N})$ 。

对于一个非空的序列 $B = (B_{1}, B_{2}, \dots, B_{| B |})$ ，我们定义它的得分为：

若 $| B |$ 为 $M$ 的倍数： $(B_{1} \oplus B_{2} \oplus \dots \oplus B_{| B |})^{K}$ 。
否则为 $0$ 。

这里 $\oplus$ 运算表示按位异或。

找到序列 $A$ 的 $2^{N} - 1$ 个非空子序列的得分之和，对 $998244353$ 取模。

首先考虑转化这个 $K$ 次方，发现对于异或和很难用组合方面的知识转化，所以直接考虑对于每个 $x$ ，求 $f_{x}$ 表示有多少长度为 $M$ 倍数的子序列异或和等于 $x$ 。总答案为 $\sum_{x} (f_{x} \times x^{k})$ ，问题转化为求出 $f$ 数组。

这个问题的形式很 $FWT$ ，更进一步，我们有 $n$ 个幂级数 $H_{i}$ ，第 $i$ 个幂级数 $FWT$ 前只有 $0$ 和 $A_{i}$ 的位置有值，因为有 $M$ 的限制，所以我们考虑把它的系数变成一个矩阵 $Y$ ，因为 $FWT$ 是一个线性变换，所以系数是整数还是矩阵都没有影响。

将每个 $H_{i}$ $FWT$ 一遍后得到 $H_{i}^{'}$ ，将其点乘起来并 $IFWT$ 一遍后就得到了 $f_{i}$ 了，时间复杂度 $O (n V \log V)$ ，其中 $V$ 是 $A_{i}$ 的值域。

考虑优化上面这个做法，容易发现每个 $H_{i}$ 中只有 $A_{i}$ 和 $0$ 的位置有值，分别是 $Y$ 和 $I$ ，其中 $I$ 是单位矩阵。根据 $xor$ 运算的 $FWT$ 的性质， $H_{i}^{'} = \sum_{j} (- 1)^{popcount (i & j)} H_{j}$ ，则可以发现 $H_{i}^{'}$ 只有两种情况： $(I + Y)$ 或 $(I - Y)$ 。所以最后点乘后得到的 $f_{i}^{'}$ 一定为 $(I + Y)^{a} (I - Y)^{b}$ ，且 $a + b = N$ 。

先用 $O (N M)$ 的 $d p$ 预处理出矩阵的值（其实根本不用推出这个矩阵），只需要记 $d p_{1} [i] [j]$ 和 $d p_{2} [i] [j]$ ，然后用下面的递推式推导即可：

{\begin{cases} d p_{1} [i + 1] [j] = d p_{1} [i] [j] + d p_{1} [i] [(j - 1 + M) mod M] \\ d p_{2} [i + 1] [j] = d p_{2} [i] [j] - d p_{2} [i] [(j - 1 + M) mod M] \end{cases}

再推一个 $G_{i} = \sum_{j = 0}^{M - 1} d p_{1} [i] [j] \times d p_{2} [N - i] [(M - j) mod M]$ ，这样得到了 $(I + Y)^{i} (I - Y)^{N - i}$ 的值了。

接下来考虑快速得到这个 $a$ ，根据 $FWT$ 的性质，如果 $popcount (x & y)$ 为偶数，那么 $y$ 就给 $f_{x}$ 贡献了一个 $(I + Y)$ 。所以计算 $f_{x}$ 的 $a$ ，实际上是在计数有多少 $A_{i}$ 使得 $popcount (A_{i} & x)$ 为偶数。考虑使用 $FWT$ 加速这一过程，记 $F_{i, j}$ 表示有多少 $x$ ，使得 $popcount (i, x) mod 2 = j$ ，初始值 $F_{x, 0} = c n t (x)$ （因为初始的时候相当于序列长度只有 $1$ ），其中 $c n t (x) = \sum_{i = 1}^{N} [x = A_{i}]$ 。