树状数组的问题处理

树状数组能够很容易求出前缀和

1.对于区间更新问题

我们要借用辅助函数来帮助自己

自定义一个函数add[i] , 表示将i~n的数都加了add[i]的值

那么将[s,t]区间都增加v，就很容易理解为add[s]+=v , add[t+1]-=v了

查询区间[s,t]的总和的时候就可以理解为：

ans = sum(t) - sum(s-1) 

这里只要考虑sum(x)怎么求解即可

比如原来前i个数保存在a[]中

那么

 

这就很容易理解为是用3个树状数组求一个a[i],一个add[i],一个i*add[i]的前缀和了

当然这里也可以把a[i]和-add[i]*i合并在一起求前缀和~

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define N 100010
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define ll long long
ll sum[N] , add[N] , sub[N];
int n,q;
void initAdd(int p , int v)
{
    for(int x=p ; x<=n ; x+=lowbit(x)) sum[x]=sum[x]+v;
}
void update(int s , int t , int v)
{
    for(int x=s ; x<=n ; x+=lowbit(x)){
        add[x]+=v;
        sub[x]+=(ll)s*v;
    }
    for(int x=t+1 ; x<=n ; x+=lowbit(x)){
        add[x]-=v;
        sub[x]-=(ll)v*(t+1);
    }
}
ll query(int s , int t)
{
    ll ans = 0;
    for(int x=t ; x>0 ; x-=lowbit(x)) ans+=sum[x]+(ll)(t+1)*add[x]-sub[x];
    for(int x=s-1 ; x>0 ; x-=lowbit(x)) ans-=sum[x]+(ll)s*add[x]-sub[x];
    return ans;
}
int main()
{
  //  freopen("a.in" , "r" , stdin);
    while(~scanf("%d%d" , &n , &q)){
        memset(sum,0,sizeof(ll)*(n+1));
        memset(add,0,sizeof(ll)*(n+1));
        memset(sub,0,sizeof(ll)*(n+1));
        int x;
        for(int i=1; i<=n ; i++){
            scanf("%d" , &x);
            initAdd(i,x);
        }
        char op[2];
        while(q--){
            scanf("%s" , op);
            int a,b,c;
            if(op[0]=='Q'){
                scanf("%d%d" , &a , &b);
                printf("%I64d\n" , query(a,b));
            }else{
                scanf("%d%d%d" , &a , &b , &c);
                update(a , b , c);
            }
        }
    }
    return 0;
}

 2.树状数组求解区间极值问题

静态求区间极大极小可以用MST或者线段树做，同样也可以用树状数组像MST一样写出精简的代码

另外他比MST更强的是，他同样可以处理在单点更新下的问题

对于一个数组a[]，如何初始化对应的树状数组：

对于每一个树状数组上的点，我们要思考它往下走到的是树上的哪些点，对于每一个树状数组上的点i来说

它所有的儿子其实是lowbit(i)的位数-1

所以这么表示for(int x=1 ; x<lowbit(i) ; x<<=1) //operation;

但这里注意的是这里  i-x 才是它的儿子节点

所以初始化就是

void init()
{
    for(int i=1; i<=n ; i++){
        Max[i]=a[i];
        for(int x=1 ; x<lowbit(i) ; x<<=1) Max[i]=max(Max[i],Max[i-x]);
    }
}

简单的点更新只要去不断往上更新树上的父亲节点直到结束即可

void update(int p , int v)
{
    a[p] = v;
    for(int x=p ; x<=n ; x+=lowbit(x)) Max[x] = max(Max[x] , v);
}

区间最大值的询问可以很容易的思考，如果从当前位置pos出发，可以走最长的lowbit(pos)就是这个pos点可覆盖的长度后还在区间范围内就说明是可行的，我们当然要走最大的，否则就只移动一格就可以了- -，这个移动一格的次数不会多的，所以不要误认为这里会超时

int query(int s , int t)
{
    int ans = a[t];
    for(int x=t-1 ; x>=s ; ){
        if(x-lowbit(x)>=s-1) ans = max(ans , Max[x]) , x-=lowbit(x);
        else ans = max(ans , a[x]) , x--;
    }
    return ans;
}

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
#define N 200000
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define max(a,b) a>b?a:b
int a[N+2] , Max[N+2] , n , m;
void init()
{
    for(int i=1; i<=n ; i++){
        Max[i]=a[i];
        for(int x=1 ; x<lowbit(i) ; x<<=1) Max[i]=max(Max[i],Max[i-x]);
    }
}
void update(int p , int v)
{
    a[p] = v;
    for(int x=p ; x<=n ; x+=lowbit(x)) Max[x] = max(Max[x] , v);
}
int query(int s , int t)
{
    int ans = a[t];
    for(int x=t-1 ; x>=s ; ){
        if(x-lowbit(x)>=s-1) ans = max(ans , Max[x]) , x-=lowbit(x);
        else ans = max(ans , a[x]) , x--;
    }
    return ans;
}
int main()
{
   // freopen("a.in" , "r" , stdin);
    while(~scanf("%d%d" , &n , &m)){
        for(int i=1 ;i<=n ; i++) scanf("%d" , &a[i]);
        init();
        char op[2]; int s,t;
        while(m--){
            scanf("%s%d%d", op , &s , &t);
            if(op[0]=='Q') printf("%d\n" , query(s,t));
            else update(s,t);
        }
    }
    return 0;
}