最大独立集求解

定义：

独立集：在一个图中，找到一个集合包含的所有点相互之间都不存在连边

最大独立集：在所有独立集中包含元素个数最多的独立集

 

之前只是知道二分图的最大独立集 = 总点数-最大匹配数

但是一般无向图的情况下求解就不能这样了

 

换个角度思考，其实求最大独立集也是相当于建立一个相反图（把当前的边都去掉，添加上之前不被选中的边）

就变成求修改之后的最大完全图的点的个数了，因为我们要保证选到的点之间不存在任何相连的边，那么图反过来之后，选到的点两两之间就必然

存在边，否则说明之前的图是存在边的，也就是两个点不能全选中，而这样得到的就是完全图

而我们求点数最多的那个，也就是最大完全图，也即最大团

 

最近学习了一下这类问题的求解方式，这可以看做是一类搜索问题，不断dfs搜索找到最优解

这样很容易看出 这是一个NP问题，复杂度也是 O(2^n)的

 

 所以优秀的剪枝是非常必要的

定义dp[i] 是 i ~ N 这些点所能构成的最大团的点数

那么我们就可以倒过来逐个算出dp[]值

对于前面的dp[]值就要利用之前算出来的值来剪枝

我们这里一个个从小到大添加节点，保证从当前出发添加进来的节点dp值已经求得

例如当前添加了 v , 之前有了 t 个点了

那么就可以用

t+dp[v] <=mx

t+N-t+1<=mx

来剪枝了（这个仔细想一下就知道了）

我们用一个_stack[][]数组记录能够扩展的节点，也就是这个数组中的点和之前取到的点每一个都存在连边，所以添加进来可以直接构成完全图

我们只要每次再添加节点后更新这个数组就可以了

因为是递归求解了，防止更新了会在回溯时出错，那么就讲数组定成两维的，第一维表示当前集合最大的点就可以直接用了

int cnt = 0;
for(int j=i+1 ; j<num ; j++){
　　if(!mp[v][_stack[u][j]]) _stack[v][cnt++] = _stack[u][j];
}

 

然后POJ1419就是一道这个的裸题，只是每次记录了最优解要取到的点而已

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 105
bool mp[N][N];
int T , n , k;
int dp[N] , ans[N] , tmp[N] , ret , mx , cnt;
int _stack[N][N];

void build(int k)
{
    memset(mp , 0 , sizeof(mp));
    for(int i=1 ; i<=n ; i++) mp[i][i] = true;
    for(int i=0 ; i<k ; i++){
        int a , b;
        scanf("%d%d" , &a , &b);
        mp[a][b] = true;
    }
}

void dfs(int u , int num , int step)
{
    if(num == 0){
        if(mx<step){
            mx = step;
            if(step>ret) for(int i=1 ; i<=step ; i++) ans[i] = tmp[i];
        }
        return;
    }

    for(int i=0 ; i<num ; i++){
        int v = _stack[u][i];
        //two methods of cut the node
        if(step+dp[v]<=mx) continue;
        if(step+n-v+1<=mx) continue;
        //从stack中能访问到v说明，v和之前所有点都有连边的，只要重新更新stack中的数据就可以了
        int cnt = 0;
        for(int j=i+1 ; j<num ; j++){
            if(!mp[v][_stack[u][j]]) _stack[v][cnt++] = _stack[u][j];
        }
        tmp[step+1] = v;
        dfs(v , cnt , step+1);
    }
}

int main()
{
  //  freopen("a.in" , "r" , stdin);
    scanf("%d" , &T);
    while(T--){
        scanf("%d%d" , &n , &k);
        build(k);
        ret = 0; //init
        for(int i=n ; i>=1 ; i--){
            cnt = 0 , mx = 1;
            for(int j=i+1 ; j<=n ; j++){
                if(!mp[i][j]) _stack[i][cnt++] = j;
            }
            tmp[1] = i;
            dfs(i , cnt , 1);
            dp[i] = mx;
            ret = max(ret , dp[i]);
        }
        printf("%d\n" , ret);
        for(int i=1 ; i<=ret ; i++){
            if(i<ret) printf("%d " , ans[i]);
            else printf("%d\n" , ans[i]);
        }
    }
    return 0;
}