HDU 5451 广义斐波那契数列

 这道题目可以先转化:

令f(1) = 5+2√6

f(2) = f(1)*(5+2√6)

...

f(n) = f(n-1)*(5+2√6)

f(n) = f(n-1)*(10-(5-2√6)) = 10*f(n-1)-(5-2√6)f(n-1) = 10*f(n-1) - 10/(5+2√6) f(n-1) = 10*f(n-1) - 10/(5+2√6) * (5+2√6)f(n-2)

= 10*f(n-1) - f(n-2)

那么就可以写成矩阵相乘的形式了

(f(n) , f(n-1)) = (f(n-1) , f(n-2)) (10 , 1

　　　　　　　　　　　　　　　　   -1 , 0) 

但这里2^x+1还是很大，这里就用到广义斐波那契数列找循环节的思想

循环节长度 = (mod-1)*(mod+1)

具体证明可以参考这里:   广义斐波那契数列

那么只要求出对模循环节后的长度进行幂运算就行了

但这里f(i)都是带根号的小数 , 这里就选择用近似的整数代替

5+2√6 = 9.89...

f(0) = (5+2√6)^0 = 1

f(1) = (5+2√6)^1 = 5+2√6

/*囧 想了半天我还是不知道为什么f(0)用2代替 ， f(1)用10代替就一定保证之后取到的都是上顶*/

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100010
#define ll long long
int n,q;
ll MOD;
struct Matrix{
    int m[2][2];
    void init(){m[0][0]=m[1][1]=1;m[0][1]=m[1][0]=0;}
    Matrix operator*(const Matrix &p) const{
        Matrix ret;
        for(int i=0 ; i<2 ; i++)
            for(int j=0 ; j<2 ; j++){
                ret.m[i][j]=0;
                for(int k=0 ; k<2 ; k++){
                    ret.m[i][j] = (ret.m[i][j]+((ll)m[i][k]*p.m[k][j])%MOD)%MOD;
                }
            }
        return ret;
    }
};

int qpow(int b)
{
    ll ret=1 , a=2;
    while(b){
        if(b&1) ret = ret*a%MOD;
        a = a*a%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

Matrix qpow(Matrix a , int b)
{
    Matrix ret;
    ret.init();
    while(b){
        if(b&1) ret = ret*a;
        a = a*a;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

int main()
{
   // freopen("a.in" , "r" , stdin);
    int T , cas=0;
    scanf("%d" , &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d" , &n , &q);
        MOD = (q-1)*(q+1);
        n = qpow(n);
        MOD = q;
        Matrix a;
        a.m[0][0]=10 , a.m[1][0]=-1 , a.m[0][1]=1 , a.m[1][1]=0;
        a = qpow(a , n);
        ll val = (ll)10*a.m[0][0]+(ll)2*a.m[1][0];
        val = ((val%MOD)+MOD)%MOD;
        printf("Case #%d: %I64d\n" , ++cas , (val+MOD-1)%MOD);
    }
    return 0;
}