bzoj 2301 莫比乌斯反演

 对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

这里题目意思很明显

对于要求的f[n] = sigma (a≤x≤b) sigma(c≤y≤d) [gcd(x,y)=k] =  sigma (1≤x≤b) sigma(1≤y≤d) [gcd(x,y)=k] + sigma (1≤x≤a-1) sigma(1≤y≤c-1) [gcd(x,y)=k] - sigma (1≤x≤a-1) sigma(1≤y≤d) [gcd(x,y)=k] -  sigma (1≤x≤b) sigma(1≤y≤c-1) [gcd(x,y)=k] 

对于每一个g[n] = sigma(1≤x≤a) sigma(1≤y≤c) [gcd(x,y)=k] = sigma(1≤x≤a/k) sigma(1≤y≤c/k) [gcd(x,y)=1] = sigma(1≤x≤a/k) sigma(1≤y≤c/k) sigma(d|gcd(x,y)) mu[d] = sigma(d) mu[d]*a/k/d*c/k/d

 

a/k/d*c/k/d 这一段区间相等的部分可以加在一起算，得到当前一样值的结束是 min(x/(x/i) , y/(y/i)) 

记录莫比乌斯函数的前缀和就可以整段区间更新，这样循环就缩小到了sqrt(n)的复杂度

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 50000
int mu[N+10] , prime[N+10] , tot , sum[N+10];
bool check[N+10];

void get_mu()
{
    mu[1] = 1;
    for(int i=2 ; i<=N ; i++){
        if(!check[i]){
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j=0 ; j<tot ; j++){
            if((ll)i*prime[j]>N) break;
            check[i*prime[j]] = true;
            if(i%prime[j]){
                mu[i*prime[j]] = -mu[i];
            }else break;
        }
    }
    for(int i=1 ; i<=N ; i++) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}

int a,b,c,d,k;

int solve(int x , int y)
{
    x/=k , y/=k;
    int mx = min(x , y) , len , ret=0;
    for(int i=1 ; i<=mx ; i=len+1)
    {
       // cout<<i<<" "<<ret<<endl;
        len = min(x/(x/i) , y/(y/i));
        ret += x/i*(y/i)*(sum[len]-sum[i-1]);
    }
    return ret;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt" , "r" , stdin);
    get_mu();
    int T;
    scanf("%d" , &T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d%d%d" , &a , &b , &c , &d , &k);
        printf("%d\n" , solve(b,d)+solve(a-1,c-1)-solve(a-1,d)-solve(b,c-1));
    }
    return 0;
}