POJ1061青蛙的约会

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

 

这道题需要用到数论的同余思想进行求解，对于ax与b在mod L情况下恒等时，当且仅当gcd（a，L）能被b整除时才有解，所以不能整除时，直接输出Impossible

能整除时利用同余条件下的定理，和欧几里得扩展定理，来得到符合条件的x，而对于这一组解来说，所有与此x在mod L条件下恒等的都是符合条件的值，我们在里面找一个最小的正整数作为结果输出即可

 

题目中可轻易得到公式（m-n)*k=q-p（mod L) 这里的k即为上面所讲的所要求的x

 

代码如下：

 

#include <iostream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include<string>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;

LL a,b,x,y,d;

LL gcd(LL a,LL b)
{
    if(b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
void ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y,LL &d)
{
    LL t;
    if(b==0){
        d=a,x=1,y=0;
    }
    else{
        ex_gcd(b,a%b,x,y,d);
        t=x,x=y,y=t-a/b*y;
    }
}
int main()
{
    LL p,q,m,n,L;
    cin>>p>>q>>m>>n>>L;
    a=m-n,b=q-p;

    if(a<0) a=-a,b=-b;
    LL Gcd=gcd(a,L);

    if(b%Gcd!=0) cout<<"Impossible"<<endl;
    else{
        LL temp;
        a=a/Gcd,temp=L/Gcd,b=b/Gcd;
        ex_gcd(a,temp,x,y,d);
        b=b*x;

        b%=L;
        if(b<0) cout<<b+L<<endl;
        else cout<<b<<endl;
    }


    return 0;
}