【学习笔记】P8590 『JROI-8』这是新历的朝阳，也是旧历的残阳

比较有思维的一个数学题，写个笔记纪念一下。

显然，为了使 $\sum _{i=1}^n{a}_i^2$ 最大，整数一定要放最后一段，即求 $\sum _{i=1}^n(a_i+m{)}^2$，而负数需要分情况考虑，即放第一段还是最后一段，中间的 $m-2$ 是空段，只考虑 $1$ 和 $m$ 这两个极端情况。

可以设中间节点 $t$，$a_{i\in [1,t]}$ 变为 $(a_{i\in [1,t]}+1{)}^2$，而 $a_{i\in (t,n]}$ 变为 $(a_{i\in (t,n]}+m{)}^2$，即 $a_i$ 变为 $max((a_i+1{)}^2,(a_i+m{)}^2)$，现求 $t$，即有 $t_{max}$使得 $(a_{t_{max}}+1{)}^2>(a_{t_{max}}+m{)}^2$。

然后，通过 $t$ 求出 $q_j=\sum _{i=1}^t(a_i+1{)}^2+\sum _{i=t+1}^n(a_i+m{)}^2$。

若直接计算 $q_j=\sum _{i=1}^t(a_i+1{)}^2+\sum _{i=t+1}^n(a_i+m{)}^2$ 显然超时，考虑优化。

将 $\sum _{i=1}^t(a_i+1{)}^2$ 展开，通过 $(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$ 得：

$\sum _{i=1}^t(a_i+1{)}^2=\sum _{i=1}^t(a_i^2+2a_i+1)=\sum _{i=1}^t{a}_i^2+2\sum _{i=1}^t{a}_i+t$

将 $\sum _{i=t+1}^n(a_i+m{)}^2$ 展开，通过 $(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$ 得：

$\sum _{i=t+1}^n(a_i+m{)}^2=\sum _{i=t+1}^n(a_i^2+2a_{i}m+m^2)=\sum _{i=t+1}^n{a}_i^2+2\sum _{i=t+1}^n{a}_{i}m+m^2(n-t)$

则

$q_j=\sum _{i=1}^t(a_i+1{)}^2+\sum _{i=t+1}^n(a_i+m{)}^2=\sum _{i=1}^t{a}_i^2+\sum _{i=1}^{t}2a+t+\sum _{i=t+1}^n{a}_i^2+\sum _{i=t+1}^{n}2a_{i}m+m^2(n-t)$

合并，得

$q_j=\sum _{i=1}^n{a}_i^2+2\sum _{i=1}^t{a}_i+2m\sum _{i=t+1}^n{a}_i+m^2(n-t)+t$

在输入时求出 $k\sum _{i=1}^n{a}_i^2$，即求出所有 $q_{j\in [1,k]}$ 的 $\sum _{i=1}^n{a}_i^2$ 的和，即 $\sum _{j=1}^k\sum _{i=1}^n{a}_i^2$。

在 $m$ 单调递增时，$t$ 是始终是不上升的，即若 $m_i<m_j$，则 $t_i\ge t_j$，即原来的 $(a_k+m_i{)}^2$ 变为了 $(a_k+m_j{)}^2$，显然 $(a_k+m_i{)}^2<(a_k+m_j{)}^2$，即若原来的 $a_k=max((a_k+1{)}^2,(a_k+m_i{)}^2)=(a_k+1{)}^2$，则现在对于 $a_k$，$(a_k+m_j{)}^2$ 比 $(a_k+m_i{)}^2$ 更容易成为 $a_{kmax}$，即 $t$ 更可能变小，放在最后一段的个数更可能变多。