【CF553E】Kyoya and Train 最短路+cdq分治+FFT
【CF553E】Kyoya and Train
题意:有一张$n$个点到$m$条边的有向图,经过第i条边要花$c_i$元钱,经过第i条边有$p_{i,k}$的概率要耗时k分钟。你想从1走到n,但是如果整个过程耗时超过了$t$,则需要额外花费$f$元。求从1走到n的期望最小花费。
$n\le 50,m\le 100,t\le 20000,k\le 1$
题解:我们先用最短路预处理出如果已经超时了,从1走到n的最小花费。剩下的考虑DP。
用f[i][j]表示在i时刻到达了j,想走到n的最小花费。则对于第i条边$(a,b)$,我们有:
$f[a][j]=min(f[a][j],\sum f[b][j+k]p_{i,k})$
发现只有后面的时间会影响前面的时间,所以我们对时间进行cdq分治。再令g[i][j]表示在j时刻经过第i条边,想走到n的最小花费,那么对于边(a,b),我们可以用f[b]更新g[b],在用g[b]和f[a]取min即可。g[b]的转移如下:
$g[i][j]=\sum f[b][j+k]p_{i,k}$
你会发现这是一个卷积的形式,上fft即可。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> #include <cmath> #define pi acos(-1.0) using namespace std; const int maxn=20010; typedef double db; struct cp { db x,y; cp() {} cp(db a,db b) {x=a,y=b;} cp operator + (const cp &a) const {return cp(x+a.x,y+a.y);} cp operator - (const cp &a) const {return cp(x-a.x,y-a.y);} cp operator * (const cp &a) const {return cp(x*a.x-y*a.y,x*a.y+y*a.x);} }l1[100010],l2[100010]; int head[60],next[110],to[110],pa[110],pb[110],pc[110],vis[60],dis[60]; db p[110][20010],F,f[60][20010],g[110][20010],sp[110][20010]; int n,m,T; inline void FFT(cp *a,int len,int f) { int i,j,k,h; cp t; for(i=k=0;i<len;i++) { if(i>k) swap(a[i],a[k]); for(j=len>>1;(k^=j)<j;j>>=1); } for(h=2;h<=len;h<<=1) { cp wn(cos(2*pi*f/h),sin(2*pi*f/h)); for(i=0;i<len;i+=h) { cp w(1,0); for(j=i;j<i+h/2;j++) t=w*a[j+h/2],a[j+h/2]=a[j]-t,a[j]=a[j]+t,w=w*wn; } } if(f==-1) for(i=0;i<len;i++) a[i].x/=len; } inline int rd() { int ret=0,f=1; char gc=getchar(); while(gc<'0'||gc>'9') {if(gc=='-') f=-f; gc=getchar();} while(gc>='0'&&gc<='9') ret=ret*10+(gc^'0'),gc=getchar(); return ret*f; } void solve(int l,int r) { if(l==r) { for(int i=1;i<n;i++) f[i][l]=1e9; for(int i=1;i<=m;i++) { g[i][l]+=sp[i][T-l+1]*(dis[pb[i]]+F); f[pa[i]][l]=min(f[pa[i]][l],g[i][l]+pc[i]); } return ; } int mid=(l+r)>>1,i,j,len; for(len=1;len<r-l+r-mid;len<<=1); solve(mid+1,r); for(j=1;j<=m;j++) { memset(l1,0,sizeof(l1[0])*len),memset(l2,0,sizeof(l2[0])*len); for(i=1;i<=r-l;i++) l1[r-l-i].x=p[j][i]; for(i=mid+1;i<=r;i++) l2[i-mid-1].x=f[pb[j]][i]; FFT(l1,len,1),FFT(l2,len,1); for(i=0;i<len;i++) l1[i]=l1[i]*l2[i]; FFT(l1,len,-1); for(i=0;i<mid-l+1;i++) g[j][l+i]+=l1[r-mid-1+i].x; } solve(l,mid); } int main() { //freopen("cf553E.in","r",stdin); n=rd(),m=rd(),T=rd(),F=rd(); int i,j; for(i=1;i<=m;i++) { pa[i]=rd(),pb[i]=rd(),pc[i]=rd(); for(j=1;j<=T;j++) p[i][j]=rd()*0.00001; for(j=T;j;j--) sp[i][j]=sp[i][j+1]+p[i][j]; } memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); dis[n]=0; for(i=1;i<=n;i++) { int k=0; for(j=1;j<=n;j++) if(!vis[j]&&dis[j]<dis[k]) k=j; vis[k]=1; for(j=1;j<=m;j++) if(pb[j]==k) dis[pa[j]]=min(dis[pa[j]],dis[k]+pc[j]); } solve(0,T); printf("%.10lf",f[1][0]); return 0; }
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