【CF944G】Coins Exhibition DP+队列
【CF944G】Coins Exhibition
题意:Jack去年参加了一个珍稀硬币的展览会。Jack记得一共有 $k$ 枚硬币,这些硬币排成一行,从左到右标号为 $1$ 到 $k$ ,每枚硬币是正面朝上的或是反面朝上的。但是Jack不记得每枚硬币具体是正面朝上还是反面朝上了。但是Jack隐约记得,在某些区间里,至少有一枚正面朝上的;以及在某些区间里,至少有一枚反面朝上的。现在Jack想知道,有多少种可能的硬币序列,满足他所记得的所有条件。两个序列被认为是不同的,当且仅当至少存在一个位置 $i$ ,满足第 $i$ 枚硬币在一个序列中正面朝上,而在另一个里反面朝上。
$1\le k\le 10^9,0\le n,m\le 10^5,1\le l\le r\le k$
题解:先将条件离线,按右端点排序,然后DP。设f[i][j][0]表示第i个是0,最后一个1是j-1的方案数,f[i][j][1]表示第i个是1,最后一个0是j-1的方案数。转移很显然:
$f[i][j][a]=f[i][j][a](j<i)$
$f[i][i][a]=\sum\limits_{j=1}^{i-1}f[i][i-1][1-a]$
当遇到一个条件[l,r,a]时,我们只需要把f[r][1..l][a^1]都改成0即可。
但是k很大,我们考虑经过连续的一段都没有任何条件时DP数组会转移成什么样。设$x=\sum\limits_{j=1}^{i}f[i][j][0],y=\sum\limits_{j=1}^if[i][j][1]$。因为f[i+1][1..i]=f[i][1..i],所以我们只需要关注f[i+1][i+1]就好了。自己推一推就会发现:
0:(sum=x) y x+y 2x+2y 4x+4y...
1:(sum=y ) x x+y 2x+2y 4x+4y...
就是一个等比数列嘛!于是我们将连续的等比数列放到一起,然后用队列维护一下就好了。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <iostream> using namespace std; typedef long long ll; const ll P=1000000007; const int maxn=400010; int n,m,K,tot; struct node { int l,r,k; }p[maxn]; inline ll pm(ll x,ll y) { ll z=1; while(y) { if(y&1) z=z*x%P; x=x*x%P,y>>=1; } return z; } struct data { ll sum; int h,t; int L[maxn],R[maxn]; ll s[maxn],v[maxn]; void init() { h=t=L[1]=R[1]=v[1]=s[1]=sum=1; } void updata(int l,int r,ll tmp) { if(R[t]<r) { t++,L[t]=R[t]=R[t-1]+1,s[t]=v[t]=tmp,sum=(sum+tmp)%P; if(R[t]<r) { t++,L[t]=R[t-1]+1,R[t]=r,s[t]=(pm(2,R[t]-L[t]+1)-1)*sum%P,v[t]=sum,sum=(sum+s[t])%P; } } while(h<=t&&R[h]<=l) sum=(sum-s[h])%P,h++; if(h<=t&&L[h]<=l) { v[h]=v[h]*pm(2,l+1-L[h])%P,L[h]=l+1,sum=(sum-s[h])%P,s[h]=(pm(2,R[h]-L[h]+1)-1)*v[h]%P,sum=(sum+s[h])%P; } } }s[2]; bool cmp(const node &a,const node &b) { return a.r<b.r; } int main() { scanf("%d%d%d",&K,&n,&m); int i; for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&p[i].l,&p[i].r); for(i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&p[i+n].l,&p[i+n].r),p[i+n].k=1; n+=m; sort(p+1,p+n+1,cmp); s[0].init(),s[1].init(); for(i=1;i<=n;i++) { ll a=s[0].sum,b=s[1].sum; if(!p[i].k) s[0].updata(0,p[i].r,b),s[1].updata(p[i].l,p[i].r,a); else s[0].updata(p[i].l,p[i].r,b),s[1].updata(0,p[i].r,a); } ll a=s[0].sum,b=s[1].sum; s[0].updata(0,K,b),s[1].updata(0,K,a); printf("%lld",(s[0].sum+s[1].sum+P+P)%P); return 0; }
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