【CF618G】Combining Slimes 概率+矩阵乘法
【CF618G】Combining Slimes
题意:一个长度为$1\times n$的网格,每次从最右侧往里推入一个数字1或2(数字会一直跑到最左边的空格子里),加入1的概率为p,2的概率为1-p。如果新加入的数与其左边的那个数相同,都=x,则将二者合并变成x+1。然后继续判断是否能与左边合并(跟2048差不多)。问你当最后格子满时,整个网格中所有数的和的期望值。
$n\le 10^9$
题解:cf怎么总喜欢利用浮点数精度来出题啊?!(现在遍地都是模意义下的期望mod 998244353,这个性质完全不敢用)
我们设a[i][j]表示用一个长度为i的网格造出一个数字j的概率,显然有$a[i][j]=a[i][j-1]\times a[i-1][j-1]$(j=1,2特殊处理)。以及b[i][j]表示在a的基础之上,要求第一个数字为2的概率,显然$b[i][j]=b[i][j-1]\times a[i-1][j-1]$。
观察一番你会发现,当j增大时a[i][j]急剧减小,当j=50时便可以忽略不计,所以我们就可以只考虑出现1..50的概率了。并且a[..][j]自从不为0开始便保持不变,于是用a[50][..]完全可以代表a[..][..]。
那么如何表示右数第i个格子的数正好为j的概率呢?不难发现它等于$a[i][j]\times(1-a[i-1][j])$。于是令$a'[i][j]=a[i][j]\times(1-a[i-1][j]),b'[i][j]=b[i][j]\times(1-a[i-1][j])$。
然后就可以DP了,用f[i][j]表示第i个格子是j时,右面i个格子总和的期望值。容易得到DP方程:
$j\neq1:f[i][j]=j+{(\sum\limits_{k=1}^{j-1}f[i-1][k]\times a'[i-1][k])\over \sum\limits_{k=1}^{j-1}a'[i-1][k]}$
$j=1:f[i][j]=j+{(\sum\limits_{k=2}^{50}f[i-1][k]\times b'[i-1][k])\over \sum\limits_{k=2}^{50}b'[i-1][k]}$
所以先预处理出前50项,剩余的进行矩阵乘法就好了。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; typedef double db; const int m=50; struct M { db v[60][60]; M () {memset(v,0,sizeof(v));} db * operator [] (const int &a) {return v[a];} M operator * (const M &a) const { M b; int i,j,k; for(i=0;i<=m;i++) for(j=0;j<=m;j++) for(k=0;k<=m;k++) b.v[i][j]+=v[i][k]*a.v[k][j]; return b; } }S,T; db p,a[60][60],b[60][60],f[60][60]; int n; inline void pm(int y) { while(y) { if(y&1) S=S*T; T=T*T,y>>=1; } } int main() { int i,j,k,t; double tmp; scanf("%d%d",&n,&t),p=t*1e-9; a[1][1]=p,a[1][2]=1-p; b[1][2]=1-p; for(i=2;i<=m;i++) { a[i][1]=p,a[i][2]=1-p,b[i][2]=1-p; for(j=2;j<=m;j++) a[i][j]+=a[i][j-1]*a[i-1][j-1],b[i][j]+=b[i][j-1]*a[i-1][j-1]; } for(i=m;i>=1;i--) for(j=1;j<=m;j++) a[i][j]*=1-a[i-1][j],b[i][j]*=1-a[i-1][j]; f[1][1]=1,f[1][2]=2; for(i=2;i<=m;i++) { for(j=2;j<=m;j++) { tmp=0; for(k=1;k<j;k++) f[i][j]+=f[i-1][k]*a[i-1][k],tmp+=a[i-1][k]; f[i][j]=f[i][j]/tmp+j; } tmp=0; for(k=2;k<=m;k++) f[i][1]+=f[i-1][k]*b[i-1][k],tmp+=b[i-1][k]; f[i][1]=f[i][1]/tmp+1; } if(n<=m) { tmp=0; for(i=1;i<=n+1;i++) tmp+=f[n][i]*a[n][i]; printf("%.12lf",tmp); return 0; } S[0][0]=T[0][0]=1; for(i=2;i<=m;i++) { tmp=0; for(j=1;j<i;j++) T[j][i]+=a[m][j],tmp+=a[m][j]; for(j=1;j<i;j++) T[j][i]/=tmp; T[0][i]=i; } tmp=0; for(i=2;i<=m;i++) T[i][1]+=b[m][i],tmp+=b[m][i]; for(i=2;i<=m;i++) T[i][1]/=tmp; T[0][1]=1; for(i=1;i<=m;i++) S[0][i]=f[m][i]; pm(n-m); tmp=0; for(i=1;i<=m;i++) tmp+=S[0][i]*a[m][i]; printf("%.12lf",tmp); return 0; }
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