【CF660E】Different Subsets For All Tuples 结论题
【CF660E】Different Subsets For All Tuples
题意:对于所有长度为n,每个数为1,2...m的序列,求出每个序列的本质不同的子序列的数目之和。(多个原序列可以有相同的子序列)
$n,m\le 10^6$
题解:结论:一个子序列出现的次数只与其长度有关。
我们可以分别求出每种长度的子序列出现的总次数,显然答案为:
$\sum\limits_{i=1}^nm^i\sum\limits_{j=i}^nC_{j-1}^{i-1}(m-1)^{j-i}m^{n-j}$
(上面没有考虑k=0,一会要单独计算)
继续化简
$\sum\limits_{j=1}^nm^{n-j}\sum\limits_{i=1}^jC_{j-1}^{i-1}(m-1)^{j-i}m^i$
$\sum\limits_{j=1}^nm^{n-j+1}(2m-1)^{j-1}$
就完事了。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> using namespace std; typedef long long ll; const ll P=1000000007; ll f1[1000010],f2[1000010],ans; int n,m; int main() { scanf("%d%d",&n,&m); int i; for(f1[0]=f2[0]=i=1;i<=n;i++) f1[i]=f1[i-1]*m%P,f2[i]=f2[i-1]*(m+m-1)%P; for(ans=f1[n],i=1;i<=n;i++) ans=(ans+f1[n-i+1]*f2[i-1])%P; printf("%lld",ans); return 0; }
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