【CF913G】Power Substring 数论+原根

【CF913G】Power Substring

题意：T组询问，每次给定一个数a，让你求一个k，满足$2^k$的10进制的后$min(100,length(k))$位包含a作为它的子串。你只需要输出一个k，不需要最小化k的值，保证有解。

$T\le 2000，a\le 10^{11}$

题解：神题。

假设a有n位，$2^k=x$，$x=a\times 10^m+b(\mod 10^{n+m})$，我们显然有$k\ge n+m$，所以$2^{n+m}\mid x$，又因为$2^{n+m}\mid 10^{n+m}$，则$2^{n+m}\mid a\times 10^m+b$（等式1）。因为$5^{n+m}\nmid x$，$5^{n+m}\mid 10^{n+m}$，所以$5^{n+m}\nmid a\times 10^m+b$（等式2）。当m确定时，b的取值范围就是一段连续的、长度为$10^m$的区间，所以当$10^m\ge 2^{n+m}$时一定有解，所以m不会太大，我们考虑枚举m。

当m确定时，我们可以根据上面那两条等式快速求出b的值，但如何根据b的值反推得到x的值呢？我们发现等式1的左右两端都能被$2^{n+m}$整除，所以将其除以$2^{n+m}$，得到$y=w (\mod 5^{n+m}),w=\frac {a\times 10^m+b} {2^{n+m}}$。容易证明如下引理：

引理：对于任意$m\le 1$，2是$5^m$的原根。

证明：首先通过枚举可知2是5的原根，$2^i=2,4,3,1,2,....$，循环节为4。

熟悉原根的都知道，a是p的原根当且仅当：将$\varphi(p)$分解质因数变成$\prod p_i^{e_i}$后，对于任意的i，$a^{\frac {\varphi(p)} {p_i}}\neq 1 (\mod p)$。那么当$m\ge 2$时，$\varphi(5^m)$分解质因数形式为$2^2\times 5^{m-1}$，有$2^{4\times 5^{m-2}}=(2^{5^{m-2}})^4=2^4(\mod p^2)$，且$2^{2\times 5^{m-1}}=2^2(\mod p^2)$，二者在$\mod p^a$意义下显然不为1。所以2是$p^m$的原根。

现在我们只需要求出$w$的指标就好了，这里求指标的方法采用了归纳的思想：

1.我们先暴力求出$w$在$\mod 5$意义下的指标$d_1$。
2.我们希望从w在$\mod 5^m$意义下的指标$d_m$推导出w在$\mod 5^{m+1}$意义下的指标$d_{m+1}$，发现对于$j\in\{0,1,2,3,4\}$，存在唯一的j使得$2^{d_m+j}=1(\mod 5^{m+1})$。所以我们暴力枚举j即可。

注意最后这一步采用快速幂会爆long long，所以还要用快速乘。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,n,m;
ll x,y,a,b;
inline ll ps(ll x,ll y,ll P)
{
	ll z=0;
	while(y)
	{
		if(y&1)	z=z+x;
		x<<=1,y>>=1;
		if(x>=P)	x-=P;
		if(z>=P)	z-=P;
	}
	return z;
}
inline ll pm(ll x,ll y,ll P)
{
	ll z=1;
	x%=P;
	while(y)
	{
		if(y&1)	z=ps(z,x,P);
		x=ps(x,x,P),y>>=1;
	}
	return z;
}
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld",&a);
		ll t=a,m1=1;
		n=0;
		while(t)	t/=10,n++;
		for(m=0;;m++,a*=10,m1*=10)
		{
			b=(-a)&((1<<(n+m))-1);
			if((a+b)%5==0)	b+=1<<(n+m);
			if(b>=m1)	continue;
			x=a+b,y=x>>(n+m);
			int i,j;
			ll now=0,phi,pw;
			for(i=0;i<4;i++)	if(pm(2,i,5)==y%5)	now=i;
			phi=4,pw=5;
			for(i=2;i<=n+m;i++)
			{
				pw*=5;
				for(j=0;j<5;j++)	if(pm(2,now+j*phi,pw)==y%pw)
				{
					now+=j*phi;
					break;
				}
				phi*=5;
			}
			printf("%lld\n",now+n+m);
			break;
		}
	}
	return 0;
}//1 5