【POJ2409】Let it Bead Pólya定理

【POJ2409】Let it Bead

题意:用\(m\)种颜色去染\(n\)个点的环,如果两个环在旋转或翻转后是相同的,则称这两个环是同构的。求不同构的环的个数。
\(n,m\)很小就是了。
题解:在旋转\(i\)次后,循环节的个数显然是\(gcd(i,n)\)
如果考虑翻转,我们将点从\(0\)\(n-1\)标号,令其先以0到圆心的连线为对称轴翻转,再旋转i次,则原来编号为x的会变成\(n-x+i\ \mathrm{mod}\ n\),令\(n-x+i=x\ \mathrm{mod}\ n\),则\(2x=i\)\(2x=n+i\)
分奇偶性讨论一下循环节的个数即可。
最后套用Pólya定理。
其实n=2的情况是算重了的,不过你会发现每种情况都恰好被算了两次,所以就不用管了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
ll ans;
ll pw[35];
int gcd(int a,int b)
{
	return !b?a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
	while(1)
	{
		scanf("%d%d",&m,&n);
		if(!n&&!m)	return 0;
		int i;
		for(pw[0]=i=1;i<=n;i++)	pw[i]=pw[i-1]*m;
		for(ans=i=0;i<n;i++)
		{
			ans+=pw[gcd(n,i)];
			if(n&1)	ans+=pw[(n+1)>>1];
			else	ans+=pw[(n>>1)+!(i&1)];
		}
		printf("%lld\n",ans/2/n);
	}
}
posted @ 2018-01-07 08:34  CQzhangyu  阅读(196)  评论(0编辑  收藏  举报