【BZOJ2732】[HNOI2012]射箭 二分+半平面交
【BZOJ2732】[HNOI2012]射箭
Description
沫沫最近在玩一个二维的射箭游戏,如下图 1 所示,这个游戏中的 x 轴在地面,第一象限中有一些竖直线段作为靶子,任意两个靶子都没有公共部分,也不会接触坐标轴。沫沫控制一个位于(0,0)的弓箭手,可以朝 0 至 90?中的任意角度(不包括 0度和 90度),以任意大小的力量射出带有穿透能力的光之箭。由于游戏中没有空气阻力,并且光之箭没有箭身,箭的轨迹会是一条标准的抛物线,被轨迹穿过的所有靶子都认为被沫沫射中了,包括那些 只有端点被射中的靶子。这个游戏有多种模式,其中沫沫最喜欢的是闯关模式。在闯关模式中,第一关只有一个靶 子,射中这个靶子即可进入第二关,这时在第一关的基础上会出现另外一个靶子,若能够一箭 双雕射中这两个靶子便可进入第三关,这时会出现第三个靶子。依此类推,每过一关都会新出 现一个靶子,在第 K 关必须一箭射中前 K 关出现的所有 K 个靶子才能进入第 K+1 关,否则游戏 结束。沫沫花了很多时间在这个游戏上,却最多只能玩到第七关“七星连珠”,这让她非常困惑。 于是她设法获得了每一关出现的靶子的位置,想让你告诉她,最多能通过多少关
Input
输入文件第一行是一个正整数N,表示一共有N关。接下来有N行,第i+1行是用空格隔开的三个正整数xi,yi1,yi2(yi1<yi2 ),表示第i关出现的靶子的横坐标是xi,纵坐标的范围是从yi1到yi2 。
输入保证30%的数据满足N≤100,50%的数据满足N≤5000,100%的数据满足N≤100000且给 出的所有坐标不超过109 。
Output
仅包含一个整数,表示最多的通关数。
Sample Input
2 8 12
5 4 5
3 8 10
6 2 3
1 3 7
Sample Output
HINT
题解:显然先二分,然后变成了问你一堆不等式组是否有解。对于$ax^2+bx>=y$,等价于$b>=-ax+{y\over x}$,该不等式就变成了一条直线所分的半平面,我们判断所有半平面是否有交即可。
由于a<0,b>0,所以要加一些辅助线做限制。并且由于半平面的交可以是一个点,所以一开始要将b>=...变成b>...-eps。最后,用long double。
#include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; typedef long double ld; const int maxn=500010; const ld eps=1e-18; struct point { ld x,y; point() {} point(ld a,ld b) {x=a,y=b;} point operator + (const point &a) const {return point(x+a.x,y+a.y);} point operator - (const point &a) const {return point(x-a.x,y-a.y);} point operator * (const ld &a) const {return point(x*a,y*a);} ld operator * (const point &a) const {return x*a.y-y*a.x;} }; struct line { point p,v; ld a; line() {} line(point x,point y){p=x,v=y,a=atan2(v.y,v.x);} }l[maxn]; int n,tot,h,t; ld x[maxn],y[maxn],z[maxn]; int q[maxn]; inline point getp(line l1,line l2) { point u=l1.p-l2.p; ld temp=(l2.v*u)/(l1.v*l2.v); return l1.p+l1.v*temp; } inline bool onlft(line a,point b) { return a.v*(b-a.p)>0; } inline bool cmp(const line &a,const line &b) { if(fabs(a.a-b.a)==0) return !onlft(a,b.p); return a.a<b.a; } void HPI() { sort(l+1,l+tot+1,cmp); int i,cnt; for(i=2,cnt=1;i<=tot;i++) if(fabs(l[i].a-l[cnt].a)>0) l[++cnt]=l[i]; h=t=q[1]=1; for(i=2;i<=cnt;i++) { while(h<t&&!onlft(l[i],getp(l[q[t]],l[q[t-1]]))) t--; while(h<t&&!onlft(l[i],getp(l[q[h]],l[q[h+1]]))) h++; q[++t]=i; } while(h<t&&!onlft(l[q[h]],getp(l[q[t]],l[q[t-1]]))) t--; } bool check(int now) { tot=0; int i; for(i=1;i<=now;i++) l[++tot]=line(point(0,y[i]/x[i]-eps),point(1,-x[i])),l[++tot]=line(point(0,z[i]/x[i]+eps),point(-1,x[i])); l[++tot]=line(point(-eps,eps),point(eps,1e10)),l[++tot]=line(point(-1e10,eps),point(1e10,2*eps)), l[++tot]=line(point(-1e10,1e10),point(-3*eps,-1e10)),l[++tot]=line(point(-eps,1e10),point(-1e10,4*eps)); HPI(); return t-h+1>=3; } inline int rd() { int ret=0,f=1; char gc=getchar(); while(gc<'0'||gc>'9') {if(gc=='-')f=-f; gc=getchar();} while(gc>='0'&&gc<='9') ret=ret*10+gc-'0',gc=getchar(); return ret*f; } int main() { //freopen("bz2732.in","r",stdin); n=rd(); int i; for(i=1;i<=n;i++) scanf("%Lf%Lf%Lf",&x[i],&y[i],&z[i]),y[i]+=eps,z[i]-=eps; int l=1,r=n+1,mid; while(l<r) { mid=(l+r)>>1; if(check(mid)) l=mid+1; else r=mid; } printf("%d",l-1); return 0; }//1 1 1 2
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