【BZOJ4031】[HEOI2015]小Z的房间 矩阵树定理
【BZOJ4031】[HEOI2015]小Z的房间
Description
你突然有了一个大房子,房子里面有一些房间。事实上,你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形,每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候,相邻的格子之间都有墙隔着。
你想要打通一些相邻房间的墙,使得所有房间能够互相到达。在此过程中,你不能把房子给打穿,或者打通柱子(以及柱子旁边的墙)。同时,你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓,所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在,你希望统计一共有多少种可行的方案。
Input
第一行两个数分别表示n和m。
接下来n行,每行m个字符,每个字符都会是’.’或者’*’,其中’.’代表房间,’*’代表柱子。
Output
一行一个整数,表示合法的方案数 Mod 10^9
Sample Input
3 3
...
...
.*.
...
...
.*.
Sample Output
15
HINT
对于前100%的数据,n,m<=9
题解:矩阵树定理:一个图的生成树个数=|该图的度数矩阵-邻接矩阵|的行列式的任意n-1阶子式的值。(度数矩阵:Aii=i的度数,其它=0)
如何求行列式的值?行列式有三种行变换:1.某行乘上一个数k,行列式的值*=k。2.某两行交换,行列式的值取相反数。3.某一行*=k,然后加到另一行上去,行列式的值不变。利用这三个变换,我们对行列式进行高斯消元即可。
但是本题要取模,并且模数不是质数,所以采用辗转相除法即可(本人的辗转相除法有点丑~)。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const ll mod=1000000000; int n,m,tot; char str[20]; int map[20][20]; ll v[100][100],ans; int main() { scanf("%d%d",&n,&m); int i,j,k; ll t; for(i=1;i<=n;i++) { scanf("%s",str); for(j=1;j<=m;j++) if(str[j-1]=='.') map[i][j]=++tot; } for(i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j<=m;j++) { if(!map[i][j]) continue; if(map[i][j-1]) v[map[i][j-1]][map[i][j-1]]++,v[map[i][j]][map[i][j]]++, v[map[i][j-1]][map[i][j]]--,v[map[i][j]][map[i][j-1]]--; if(map[i-1][j]) v[map[i-1][j]][map[i-1][j]]++,v[map[i][j]][map[i][j]]++, v[map[i-1][j]][map[i][j]]--,v[map[i][j]][map[i-1][j]]--; } } for(i=1;i<=tot;i++) for(j=1;j<=tot;j++) v[i][j]=(v[i][j]+mod)%mod; tot--,ans=1; for(i=1;i<=tot;i++) { for(j=i+1;j<=tot;j++) { while(v[i][i]&&v[j][i]) { if(v[i][i]>=v[j][i]) for(t=v[i][i]/v[j][i],k=i;k<=tot;k++) v[i][k]=(v[i][k]-v[j][k]*t%mod+mod)%mod; else for(t=v[j][i]/v[i][i],k=i;k<=tot;k++) v[j][k]=(v[j][k]-v[i][k]*t%mod+mod)%mod; } if(v[j][i]) for(ans=mod-ans,k=i;k<=tot;k++) swap(v[i][k],v[j][k]); } ans=ans*v[i][i]%mod; } printf("%lld",ans); return 0; }
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