【BZOJ2216】[Poi2011]Lightning Conductor 决策单调性

【BZOJ2216】[Poi2011]Lightning Conductor

Description

已知一个长度为n的序列a1,a2,...,an。
对于每个1<=i<=n，找到最小的非负整数p满足 对于任意的j, aj < = ai + p - sqrt(abs(i-j))

Input

第一行n，(1<=n<=500000)
下面每行一个整数，其中第i行是ai。(0<=ai<=1000000000)

Output

n行，第i行表示对于i，得到的p

 

Sample Input

6
5
3
2
4
2
4

Sample Output

2
3
5
3
5
4

题解：决策单调性不只是斜率优化~

p>=aj-ai+sqrt(abs(i-j))，有绝对值怎么办？拆开讨论两边就行。

你会发现，sqrt函数的增长是越来越慢的，也就意味着如果存在i<j<k，且对于k来说j比i更优，那么之后的i再也不会比j优了。我们想找到的，就是当前节点最远能更新到哪个点。

不难发现，每个点能做出贡献的区间是一段连续的区间（可能为空）。我们可以用双向队列来找出每个点能作用的区间的左右端点lp和rp，具体方法：

1.枚举到当前点i时，先更新i的答案，然后将队首的lp改为i，如果队首lp>rp，则弹出队首。
2.如果队列不为空，且i对于n不如队尾优，说明i永远干不掉队尾，则不将i加入队列。
否则，如果i对于lp[队尾]比队尾更优，则弹出队尾。最后，i干掉队尾的位置就落在lp[队尾]和rp[队尾]之间，二分一下即可。

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74

#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn=500010; int n,h,t; int lp[maxn],rp[maxn],v[maxn],p[maxn],q[maxn]; int rd() {     int ret=0,f=1;  char gc=getchar();     while(gc<'0'||gc>'9') {if(gc=='-')f=-f;   gc=getchar();}     while(gc>='0'&&gc<='9')   ret=ret*10+gc-'0',gc=getchar();     return ret*f; } double solve(int a,int b) {     return v[a]-v[b]+sqrt(abs(b-a)); } int main() {     n=rd();     int i,l,r,mid;     for(i=1;i<=n;i++)    v[i]=rd();     for(h=1,t=0,i=1;i<=n;i++)     {         while(h<=t&&rp[q[h]]<i)   h++;         if(h<=t) lp[q[h]]=i,p[i]=max(p[i],(int)ceil(solve(q[h],i)));         if(h>t||solve(i,n)>solve(q[t],n))         {             rp[i]=n;             while(h<=t&&solve(i,lp[q[t]])>=solve(q[t],lp[q[t]]))  t--;             if(h<=t)             {                 l=lp[q[t]],r=rp[q[t]]+1;                 while(l<r)                 {                     mid=l+r>>1;                     if(solve(i,mid)<solve(q[t],mid)) l=mid+1;                     else    r=mid;                 }                 rp[q[t]]=l-1,lp[i]=l;             }             else    lp[i]=i+1;             q[++t]=i;         }     }     for(h=1,t=0,i=n;i>=1;i--)     {         while(h<=t&&lp[q[h]]>i)   h++;         if(h<=t) rp[q[h]]=i,p[i]=max(p[i],(int)ceil(solve(q[h],i)));         if(h>t||solve(i,1)>solve(q[t],1))         {             lp[i]=1;             while(h<=t&&solve(i,rp[q[t]])>=solve(q[t],rp[q[t]]))  t--;             if(h<=t)             {                 l=lp[q[t]],r=rp[q[t]];                 while(l<r)                 {                     mid=l+r>>1;                     if(solve(i,mid)<solve(q[t],mid)) r=mid;                     else    l=mid+1;                 }                 lp[q[t]]=r,rp[i]=r-1;             }             else    rp[i]=i-1;             q[++t]=i;         }     }     for(i=1;i<=n;i++)    printf("%d\n",p[i]);     return 0; }